Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Euklid) |
| 28.10.2017, 12:44 | User2810 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Euklid) Hallo zusammen, wir haben den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Euklid), kurz angesprochen. An einer Stelle komme ich jedoch nicht weiter. Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Beweis: Wir haben eine Zahl N konstruiert, die größer als die natürliche Zahl m ist: N = (1*2*3*...*m)+1 1. Frage: Warum haben wir die Zahlen von 1 bis m miteinander multipliziert und noch eine +1 angehängt? Wollten wir so erreichen, dass diese Zahl N größer als m ist?! 2 mögliche Fälle können eintreten: 1. Fall: N ist eine Primzahl. 2. Fall: N ist ein Produkt, das sich aus Primzahlen zusammensetzt. Trifft Fall 1 zu, dann haben wir eine Zahl N gefunden, die eine Primzahl und zugleich größer als m ist. Fall 2: Wir haben die Faktoren ausgeklammert: N = 2(1*3*...*m) + 1 N = 3(1*2*...*m) + 1 An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Warum klammern wir die Faktoren aus? Meine Ideen: Da immer ein Rest von 1 bleibt, ist N nicht durch die Faktoren teilbar. Und nun? Was bringt uns das? Danke schon mal im Voraus. LG |
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| 28.10.2017, 12:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn es nur endlich viele Primzahlen gäbe, dann gäbe es eine natürliche Zahl m, so dass alle Primzahlen kleiner oder gleich m wären. Wäre nun N keine Primzahl, so müsste sie durch eine Zahl kleiner als N-1 teilbar sein, ist sie aber nicht. Also ist N eine Primzahl größer als m, das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. |
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| 28.10.2017, 13:47 | User2810 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Elvis, danke schonmal für deine Antwort! 
Habe ich es richtig verstanden, dass das ein Widerspruchsbeweis ist? Müsste ich den Beweis (s.o.) dann nicht um die Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen ergänzen oder ist die Beweisstruktur (s.o.) richtig? "Wäre nun N keine Primzahl, so müsste sie durch eine Zahl kleiner als N-1 teilbar sein, ist sie aber nicht." Dass sie nicht durch eine Zahl kleiner als N-1 teilbar ist, zeigen wir, indem wir die Faktoren ausklammern, oder? Also kann man den Beweis dann wie folgt aufschreiben? Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen, die kleiner oder gleich sind. Wir konstruieren eine Zahl N, die größer als m ist. N = (1*2*3*4*...*m) + 1 1. Fall: N ist eine Primzahl. Widerspruch zur Annahme. 2. Fall: N ist keine Primzahl. Wäre N nun keine Primzahl, müsste sie durch einen der Faktoren teilbar sein: N = 2(*1*3*4*...*m) + 1 -> nicht durch 2 teilbar, dasselbe gilt für die anderen Faktoren. N ist nicht durch die Faktoren teilbar. N ist eine Primzahl größer als m -> Widerspruch zur Annahme. Ist das so akzeptabel? 
LG |
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| 28.10.2017, 22:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Passt. |
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