Bijektion angeben

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yd010398 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion angeben
Meine Frage:
Hi ich bin Wirtschaftsmathematik-Student im ersten Semester und habe folgende Aufgabe:

Sei M eine Menge. Man bezeichne mit 2M die Menge der Abbildungen von M nach {0,1}. Geben Sie eine Bijektion P(M) ? 2M an. Hierbei beizeichnet P(M) die Potenzmenge von M, d.h. die Menge aller Teilmengen von M.

Ich habe mir jetzt schon länger Gedanken über die Aufgabe gemacht, aber komme mit der Aufgabenstellung nicht wirklich zurecht und verstehe nicht, was ich machen soll. Könnte bitte jemand die Aufgabenstellung erklären oder mir einen Denkanstoß geben, damit ich auf die Lösung komme?

Meine Ideen:
Meine einzige Idee ist bis jetzt, dass die Menge M nur 2 Elemente hat, da wir etwas ähnliches in der Vorlesung besprochen haben, allerdings habe ich da nur verstanden, dass das etwas mit dem Ausdruck 2^M zu tun hat und nicht warum.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo yd010398,

Zitat:
Meine einzige Idee ist bis jetzt, dass die Menge M nur 2 Elemente hat

Bist du dir da sicher? Wie kommst du denn genau auf diese Aussage? Du weisst über nichts weiter als dass es eine Menge ist.

Nach Aufgabenstellung ist also eine bijektive Abbildung gesucht, wobei definiert ist als die Menge aller Abbildungen von (eine alternative Schreibweise für falls dir das leichter fällt).

Eine Idee wäre es im ersten Schritt zu versuchen einer Menge eine Abbildung zuzuordnen, d.h. versuche ... zu definieren (überlege dir dazu vlt. welche Elemente von gehen auf und welche auf ).

Falls du damit nicht weiter kommst melde dich noch einmal, dann sehen wir weiter.

Gruss Sito
 
 
yd010398 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee wäre es, dass alle Elemente aus M, die in B liegen auf 0 gehen und alle Elemente, die nicht in B liegen auf 1 gehen. Aber wäre das dann schon eine Bijektion? Bin leider noch nicht so wirklich drin in dem Thema Big Laugh
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Fast, aber nicht ganz. Wie sich später zeigen wird ist es nützlich die Funktion folgendermassen zu definieren: . Zu zeigen bleibt also noch, dass es sich bei der Funktion um eine Bijektion handelt. Hierzu schreibst du dir am besten einmal auf was genau Injektivität und Surjektivität bedeutet und versuchst dann diese Eigenschaften zu zeigen.
yd010398 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich werde es mal versuchen. x ist Element von M, oder?
yd010398 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin zu dem Ergebnis gekommen, dass F surjektiv ist, da es für jedes x aus P(M) eine Abbildung gibt, aber nicht injektiv, da es für jede Abbildung aus 2^M mehr als ein x aus P(M) gibt. Wie komme ich denn jetzt auf Bijektivität?
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Also gehen wir das mal der Reihe nach durch:

Wir wollen zuerst Injektivität zeigen, seien also . Zu zeigen ist: . Du musst also annehmen dass du zwei Charakteristische Funktionen (was übrigens der Name der von mir definierten Funktion im letzten Beitrag ist) hast die gleich sind und daraus schliessen, dass .

Die Gleichheit von Mengen zeigt man z.B. in dem man beweist, dass und gilt. Nimm dir also erst mal ein und zeige, dass daraus folgt, dass gilt. Danach das gleiche Spiel für ein .

Edit:
Zitat:
da es für jedes x aus P(M) eine Abbildung gibt,

Wenn du schon dabei bist, schreib doch auch noch mal sauber auf was genau du damit meinst. So wie ich das dort lese ist und somit eine Menge, und nicht wie oben von dir gefragt ein Element aus ...
yd010398 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok die Injektivität habe ich jetzt bewiesen, aber wie gehe ich bei der Surjektivität vor? Ich muss ja beweisen, dass es für jede Abbildung von M -> 0;1 ein B aus P(M) gibt. Durch Argumentieren könnte ich denk ich zeigen, dass Surjektivität vorliegt, allerdings weiß ich nicht wie ich einen Beweis dazu aufschreiben soll.
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie gehe ich bei der Surjektivität vor?

Schreiben wir hier noch mal die genau Definition von einer surjektiven Abbildung auf: Seien zwei Mengen und eine Abbildung. ist surjektiv wenn gilt. Identifiziere doch für den Anfang mal was in deinem Fall und sind.
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