Von Sigma Subadd. auf sigma Add. folgen?

Neue Frage »

28.10.2017, 14:29	sigmaadd.	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Sigma Subadd. auf sigma Add. folgen? Meine Frage: Hallo, Folgende Aufgabe [attach]45503[/attach] Meine Ideen: Ich bin dieganzezeit am Überlegen komme aber auf kein Ergebnis.. Die erste Bedingung für ein Maß ist in der Voraussetzung ja schonmal erfüllt. Bleibt die Sigma Additivität zu zeigen..Wie kann ich von der Sigma Subadd. auf die Sigma Additiv. schließen ? Wäre froh wenn mir jemand helfen kann LG
28.10.2017, 18:07	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuche das mal. Du hast ja die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} \mu (A\cup B)=\mu(A)+\mu(B) \end{eqnarray}$ für disjunkte Mengen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ Das nenne ich $\begin{eqnarray} (_1) \end{eqnarray}$ Zeigen muss du $\begin{eqnarray} \mu (\bigcup_{k\in\mathbb N} A_k)=\sum_{k\in\mathbb N} \mu(A_k) \end{eqnarray}$ für disjunkte Mengen $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ (das ist meine Induktionshypothese $\begin{eqnarray} (_2) \end{eqnarray}$ ) Induktion über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ : Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu (\bigcup_{l=1}^1 A_l)=\mu(A_1)=\sum_{l=1}^1 \mu(A_l) \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} k\mapsto k+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu (\bigcup_{l=1}^{k+1} A_l)=\mu ((\bigcup_{l=1}^{k} A_l)\cup A_{k+1})\overset{(_1)}{=}\mu (\bigcup_{l=1}^{k} A_l)+\mu(A_{k+1})\overset{(_2)}{=}\sum_{l=1}^{k} \mu(A_l)+ \mu(A_{k+1})=\sum_{l=1}^{k+1} \mu(A_l) \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach brauchst du das 2te gar nicht. Die erste Eigenschaft gilt (laut Angabe) für 2 disjunkte Mengen, und dann kann man folgern, dass es für beliebig (abzählbar) viele disjunkte Mengen gilt.
28.10.2017, 18:34	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals !! Sehr schön und nachvollziehbar gelöst
28.10.2017, 18:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist nur gezeigt, dass beliebige endliche Vereinigungen sich additiv verhalten. Was wirklich leicht folgt. Aber damit folgt NICHT Sigma-Additivität. Sei $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal A = \{ F \subset \mathbb N : F \text{ ist endlich oder } F^c \text{ is endlich} \} \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Abbildung $\begin{eqnarray} \mu(F) = \begin{cases} 0 & \text{ falls $F$ endlich} \\ \infty & \text{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Die ist additiv, aber nicht Sigma-additiv!
28.10.2017, 19:03	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh :/ Hast du eine Idee wie das sonst gehen soll ? Ich glaube man muss irgendwas mit der Stetigkeit ausnutzen..
28.10.2017, 19:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Den einfachsten Beweis dazu habe ich letztens erst in einem Buch gelesen. Man muss ja nur noch eine Abschätzung, nämlich $\begin{eqnarray} \sum_{k \in \mathbb N} \mu(A_k) \leq \mu\left( \bigcup_{k\in \mathbb N } A_k\right) \end{eqnarray}$ . Nach Definition ist $\begin{eqnarray} \sum_{k \in \mathbb N} \mu(A_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \mu(A_k) \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man die Additivität benutzen und mit Monotonie eine, in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gleichmäßige Schranke angeben.
Anzeige

28.10.2017, 19:17	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung kleiner gleich ist ja schon vorausgesetzt, du meinst dann eher größer gleich oder ? Dann würde Gleichheit folgen
28.10.2017, 19:18	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne Moment quatsch..vergiss das letzte
28.10.2017, 19:20	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir das Buch verraten ?
28.10.2017, 20:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
"Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems". Aber es sind wirklich nur 2 Zeilen (2, weil die groß schreiben.)
28.10.2017, 20:35	sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Danke , hab das Buch online nicht öffnen können schade.. oi67.tinypic.com/ 10rp8ph.jpg bin ich mit meinem Ansatz mehr oder weniger richtig ? ( kann url nicht posten deswegen fehlt das https am anfang)
28.10.2017, 20:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin kein Fan, der puenktchcen-Schreibweise. Aber bei der letzten Zeile solltest du erkennen, dass die Abschaetzung offenbar gilt.
28.10.2017, 21:11	Sigmaadd	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber warum offensichtlich?
28.10.2017, 21:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist monoton. Also ist fuer jedes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \mu\left ( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) \leq \mu\left ( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) \end{eqnarray}$ . Die rechte Seite haengt nicht von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ab, also gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\mu\left ( \bigcup_{k=1}^n A_k \right) \leq \mu\left ( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) \end{eqnarray}$ . Und das ist alles was zu zeigen war.

Neue Frage »

Antworten »

Von Sigma Subadd. auf sigma Add. folgen?

Verwandte Themen