Aufgabe zu Markov-Ketten

28.10.2017, 17:15	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Markov-Ketten Hallo zusammen, die Aufgabe lautet: es werden drei Münzen geworfen. $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ sei dabei die Anzahl der Münzen, die Kopf zeigen. Die Münzen, die nach dem ersten Durchgang Kopf gezeigt haben, werden nochmal geworfen. $\begin{eqnarray} X_{2} \end{eqnarray}$ sei jetzt die Anzahl der Münzen, die Zahl zeigen. Inklusive der, die beim ersten Durchgang Zahl gezeigt haben (und daher nicht nochmal geworfen wurden). Alle Münzen, die Zahl zeigen, werden wieder geworfen. $\begin{eqnarray} X_{3} \end{eqnarray}$ sei die Anzahl der Münzen, die anschließend Kopf zeigen. Das ganze geht so weiter. Wie lautet die Übergangsmatrix der Markov-Kette $\begin{eqnarray} X_{n} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich habe zunächst versucht alle Zustände zu notieren, die eintreten können. Dabei komme ich auf $\begin{eqnarray} {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,K),(Z,K,K),(K,Z,Z),(Z,Z,K),(Z,K,Z),(Z,Z,Z)} \end{eqnarray}$ . Da die Reihenfolge, in der Münzen geworfen werden keine Rolle spielt, kann man diese zusammenfassen zu $\begin{eqnarray} {(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z),(Z,Z,Z)} \end{eqnarray}$ . Im ersten Durchgang gelten die Wahrscheinlichkeiten: $\begin{eqnarray} P({K,K,K}) = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P({K,K,Z}) = \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P({K,Z,Z}) = \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P({Z,Z,Z}) = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Für die weiteren Durchgänge stehe ich ein bisschen auf dem Schlauch. Es muss ja auch noch notiert werden, welche Münzenseite gezählt wird. Eine Idee, die mir gekommen ist, ist einfach jeden Zustand zweimal zu nehmen. Einmal für Kopf und einmal für Zahl, also $\begin{eqnarray} {(K,K,K)_{Z},(K,K,Z)_{Z},(K,Z,Z)_{Z},(Z,Z,Z)_{Z},(K,K,K)_{K},(K,K,Z)_{K},(K,Z,Z)_{K},(Z,Z,Z)_{K}} \end{eqnarray}$ . Bin ich damit auf dem richtigen Weg? Danke schonmal!
02.11.2017, 14:18	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Markov-Ketten Hallo, Ich würde nach dem ersten Wurf direkt die Zufallsvariable $\begin{align} X_1 \end{align}$ als die hier relevanten Zustände betrachten, also $\begin{align} X_1 = 0 \end{align}$ , $\begin{align} X_1 = 1 \end{align}$ , $\begin{align} X_1 = 2 \end{align}$ und $\begin{align} X_1 = 3 \end{align}$ . Das ist zwar im Wesentlichen das selbe wie dein $\begin{align} \left\{(K,K,K),(K,K,Z),(K,Z,Z),(Z,Z,Z)\right\} \end{align}$ , macht aber die weitere Betrachtung einfacher. Dann hast du ja einen Übergang von $\begin{align} X_1 \end{align}$ nach $\begin{align} X_2 \end{align}$ , diese Übergangsmatrix (Markow-Matrix) sollst du bestimmen.
02.11.2017, 15:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze kann man hier so beschreiben: $\begin{align} X_n \end{align}$ ist die Anzahl Münzen, die im $\begin{align} (n+1) \end{align}$ -ten Wurf geworfen werden. Zugleich ist dies im Fall "n ungerade" die Münzanzahl "Kopf" nach dem n-ten Wurf bzw. im Fall "n gerade" die Münzanzahl "Zahl" nach dem n-ten Wurf. Dann gilt mit Start $\begin{align} X_0=3 \end{align}$ die Iteration $\begin{align} X_n = 3-X_{n-1} + Y_n \end{align}$ mit $\begin{align} Y_n\sim B\left( X_{n-1},\frac{1}{2}\right) \end{align}$ . Damit kann man die Ü-Matrix der Markov-Kette $\begin{align} (X_n) \end{align}$ aufbauen. P.S.: Das $\begin{align} Y_n\sim B\left( X_{n-1},\frac{1}{2}\right) \end{align}$ ist natürlich als bedingte Verteilung aufzufassen, d.h., in dem Sinn $\begin{align} P(Y_n \mid X_{n-1}=m) = B\left( m,\frac{1}{2}\right) \end{align}$
02.11.2017, 19:21	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe! Ich komme jetzt auf die Übergangsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei repräsentiert die Komponente $\begin{eqnarray} a_{i,j} \end{eqnarray}$ die Übergangswahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ . Also die Anzahl der gezählten Münzenseiten. Edit: Fehler in Matrix korrigiert
02.11.2017, 20:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf den kleinen Verschreiber ganz links unten in der Matrix, wo $\begin{align} \frac{1}{8} \end{align}$ statt $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ stehen sollte, stimme ich zu.

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