Mengenbeweis

29.10.2017, 10:52

Numerus

Mengenbeweis

HAllo, ich habe die Aufgabe:
Sei G eine beliebige nichtleere Menge und $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ beliebige Teilmengen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
Gilt $\begin{eqnarray*} A\subseteqq B \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \overline{B}\times C\subseteqq\overline{A}\times C \end{eqnarray*}$

Meine Vermutung ist, dass die Aussage stimmt. Ich habe es selbst für eine Menge einmal getestet. Dort hat es geklappt. Mir fehlt jetzt allerdings die Idee die Aussage zu beweisen. Kann mir jemand helfen?

Grüße

29.10.2017, 11:03

Jefferson1992

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Wie wurde denn das kartesische Produkt definiert?
Wenn du mit dieser Definition da ran gehst, sollte der Beweis kein Kopfzerbrechen mehr sein...

29.10.2017, 11:27

Numerus

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Hallo, das kartesische Produkt ist definiert als $\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{B}\times C=\{(\overline{b},c)|\overline{b}\in\overline{B}\wedge c\in C\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}\times C=\{(\overline{a},c)|\overline{a}\in \overline{A}\wedge c\in C\} \end{eqnarray*}$

Wie bringt mich das denn hier weiter?

Grüße

29.10.2017, 11:53

Jefferson1992

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Du hast gegeben, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$

Was kannst du also über $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline B \end{eqnarray*}$ aussagen?

29.10.2017, 12:19

Numerus

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Ich denke dann kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} \overline B\subseteq\overline A \end{eqnarray*}$ gilt oder $\begin{eqnarray*} \overline A\nsubseteq\overline B \end{eqnarray*}$ gilt.

Grüße

29.10.2017, 12:24

Jefferson1992

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richtig und jetzt schau dir nochmal die Definition des Kartesischen Produkts an. Das solltest du jetzt wirklich hinkriegen.

29.10.2017, 12:41

Numerus

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Ich soll doch zeigen das Gilt $\begin{eqnarray*} A\subseteqq B \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \overline{B}\times C\subseteqq\overline{A}\times C \end{eqnarray*}$ gilt. Kannst du mir noch einen Tipp geben? Ich sehe noch nicht wie mir das weiter helfen soll ,...

29.10.2017, 12:59

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Numerus
Hallo, das kartesische Produkt ist definiert als $\begin{eqnarray*} A\times B=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{B}\times C=\{(\overline{b},c)|\overline{b}\in\overline{B}\wedge c\in C\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}\times C=\{(\overline{a},c)|\overline{a}\in \overline{A}\wedge c\in C\} \end{eqnarray*}$

Wie bringt mich das denn hier weiter?

Grüße

Und wenn du jetzt weißt, dass $\begin{eqnarray*} \overline B \subseteq \overline A \end{eqnarray*}$

sollte es klar sein..

01.11.2017, 11:39

Numerus

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Nach etwas grübeln habe ich es jetzt denke ich verstanden. Da $\begin{eqnarray*} \overline B \subseteq \overline A \end{eqnarray*}$ gilt muss auch $\begin{eqnarray*} \overline{B}\times C\subseteq\overline{A}\times C \end{eqnarray*}$ gelten.

Ich denke das ist so gemeint? Das nur noch sauber aufschreiben.

Viele Grüße

01.11.2017, 14:50

Jefferson1992

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richtig

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