Matrix Rang und Inverse bestimmen

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Matheneuling002 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Rang und Inverse bestimmen
Meine Frage:
Ich habe zwei Matrizen gegeben
a)
b)

Ich muss den Rang bestimmen und ich muss die invertierbare Matrizen und die Inverse bestimmen.

Meine Ideen:
Also bei a habe ich folgendes raus:
Die Matrix hat den Rang 1. Dadurch kann ich keine invertierbare Matrix bestimmen, weil die Matrix keinen Vollrang hat. ISt das soweit richtig?

und bei b habe ich folgendes:
a=1, dadurch ergibt sich, dass gleiche wie bei a)
a<0 die Matrix hat Rang 3
a>0 die Matrix hat Rang 3
Aber wie bestimme ich jetzt die invertierbare Matrix. Ich weiß wie ich das machen muss, aber ich bekomme es nicht in eine Zeilenstufenform. Irgendwie habe ich mit dem a Probleme.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

a) korrekt. Der Rang ist eins und damit existiert keine Inverse.

b) Woran scheiterst Du? Die Stufenform ist doch in zwei Schritten geschafft.
Zuerst bringst Du in die erste Spalte Nullen unterhalb des ersten Elements, dann in der zweiten unterhalb des zweiten.
Matheneuling002 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich scheitere bei dem a. Ich muss das doch dann in die Form bringen, sodass ich nur 1 habe auf der Diagonale und sonst nur 0 oder?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig mal was du gerechnet hast bisher
Matheneuling002 Auf diesen Beitrag antworten »

So viel kann ich dir da leider nicht zeigen. Also ich habe verschiedene Termumformungen versucht durchzuführen, damit ich auf diese Form komme. Aber ich habe ständig zwei oder drei a an verschiedenen Stellen. Ist das überhaupt richtig, wenn ich es versuche in die Form zu bekommen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

In der inversen Matrix dürfen - bzw. müssen sogar - auch Ausdrücke in a vorkommen, damit die sich bei der Multiplikation mit der Originalmatrix wegheben, sodass die Einheitsmatrix rauskommt (wie in der Definition der inversen Matrix gefordert).

Ich geh mal davon aus, dass du das weißt, aber dennoch vorsichtshalber:
Standard-Ansatz ist: links die zu invertierende Matrix, rechts die Einheitsmatrix aufschreiben; die linke auf ZSF bringen und die rechte alle Umformungen mitmachen lassen - mit allen a's dabei, durch die Termrechnung muss man durch, schwitzen und den Überblick behalten; schließlich die linke auf Einheitsmatrix bringen, wieder die rechte alle Umformungen mitmachen lassen - dann hast du die Inverse. Mach am besten dann die Probe, indem du die mit der Originalmatrix multiplizierst und prüfst, ob da wirklich die Einheitsmatrix rauskommt.
 
 
Matheneuling002 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist es nicht so, dass wenn ich von der vorgegeben Matrix in der auch die a enthalten sind die Einheitsmatrix bilden möchte dürfen doch nur 1 und 0 enthalten sein. Das heißt doch auch, dass sich das a rauskürzen muss oder nicht? Oder habe ich da etwas falsch verstanden? Auf der rechten Seite muss ich die Umformungen auch machen, dass weiß ich und da kann ja dann wieder ein a stehen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleines Beispiel: Das Inverse der Matrix



ist

.

Das Ganze natürlich nur, sofern a nicht +1 oder -1 ist, damit 1-a^2 im Nenner definiert ist - passenderweise ist sonst auch die Originalmatrix nicht invertierbar.

Kannst ja mal schauen, was rauskommt, wenn du die beiden angegebenen Matrizen miteinander multiplizierst, bzw dir überlegen wie du vorgehen würdest, wenn du die oben angegebene Matrix invertieren wolltest.

Grüße
sibelius84
Matheneuling002 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. smile habe es jetzt raus. Vielen Dank für das Beispiel. smile
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