Kurvenintegral berechnen und zeigen, dass es sich um ein Gradientenfeld handelt |
| 29.10.2017, 16:26 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kurvenintegral berechnen und zeigen, dass es sich um ein Gradientenfeld handelt Hallo, ich weiß, dass es eine lange Frage ist. Aber wir haben ein neues Thema angefangen und nach langem Recherchieren und Script durchlesen, weiß ich was mit Gradientenfeld usw. gemeint ist, aber leider Gottes gibt es keinerlei Übungsaufgaben mit Lösung hierzu. [Latex]Fp(x,y,z)\quad =\quad (pyz+2x,xz-2y,xy)^{ T }[latex] [attach]45507[/attach] Nur Formeln oder Tipps wären schon sehr hilfreich, denn ich weiß nicht wie ich anfangen soll. mfg, danke im Vorraus... Meine Ideen: ... |
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| 29.10.2017, 19:39 | czek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, (a) lässt sich ganz einfach lösen, wenn benutzt werden darf, dass die Rotation eines Gradienten gleich Null ist. Betrachte also . Für (b) das Integral berechnen, wobei F für wird. |
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| 29.10.2017, 19:48 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo zusammen, zu (a) da man bei vektorwertigen Ausdrücken nicht vom Gradienten spricht, meinst du wahrscheinlich . Wenn da 0 herauskommt, dann ist das Ding ein Gradientenfeld, d.h. es gibt eine skalarwertige Funktion s mit grad s = F_p. Ein Potential bestimmt man am leichtesten durch Integration der 1. Komponente nach x und anschließende Ableitung nach y, dann Vergleich mit der 2. Komponente um zu sehen, was noch fehlt. Man kann es auch über ein Kurvenintegral machen, ist aber m.E. etwas aufwändiger. zu (b) siehe vorigen Post, mit 0 und 1 am Integral zu (c) Kennst du den Zusammenhang zwischen Gradientenfeld, Wegeunabhängigkeit von Kurvenintegralen, und Verschwinden von Integralen über geschlossene Kurven? Grüße sibelius84 |
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| 29.10.2017, 20:09 | czek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Korrektur zum Hinweis zu (a) eine Korrektur: Es wird in der Aufgabenstellung ja schon vermutet, dass F ein Gradientenfeld ist. Betrachte also nicht, wie um 19:39 geschrieben, rot(grad(F)), sondern rot(F). Betrachte also . |
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| 31.10.2017, 15:06 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Korrektur joa a ist recht einfach mir ging es soweiso um b und c... also bei a hab ich: [attach]45524[/attach] 
wegen b: [attach]45525[/attach] leichter gesagt als getan... 
... ich versuchs mal ... ich schreib heute abend oder morgen meine lösung hier rein...
nicht wirklich... |
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| 31.10.2017, 16:14 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Korrektur nochmal kurz zu: [attach]45528[/attach] bei mir fällt im Verlauf der Rechnung p weg... 
[attach]45527[/attach] |
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| 31.10.2017, 17:49 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Knightfire66, es gibt Konstellationen, in denen es möglich wird, dass im Verlauf der Rechnung das p wegfällt, denke ich. Kannst ja noch mal nachrechnen und dabei genau prüfen, wie sicher du für jeden Schritt bist, dass der richtig ist. Nun zu den Zusammenhängen. Zur Vereinfachung gehe ich mal davon aus, dass wir über dem kompletten |R^n (hier |R^3) als Definitionsbereich arbeiten. noch recht trivial - (1): Genau dann, wenn alle möglichen Kurvenintegrale eines Vektorfeldes v über geschlossene Kurven verschwinden, ist der Wert beliebiger Kurvenintegrale nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängig. tiefer liegend - (2): Genau dann, wenn alle möglichen Kurvenintegrale eines Vektorfeldes v über geschlossene Kurven verschwinden, dann existiert eine skalarwertige Funktion s mit grad s = v. Auch (2) kann man sich aber leicht plausibel machen: -> Wenn v = grad s ein Gradientenfeld ist, ist ja das Integral von v über eine Kurve gamma:[a,b]->|R^n gerade gleich s(gamma(b))-s(gamma(a)). Also sind Kurvenintegrale dann wegeunabhängig. -> Wenn v = grad s ein Gradientenfeld und gamma eine geschlossene Kurve ist, so ist das Integral sogar Grüße sibelius84 |
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| 01.11.2017, 14:28 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, könntest du eventuell die b für 1 nachrechnen? und vielen dank für die gute Erklärung der zusammenhänge. |
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| 01.11.2017, 16:52 | czek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| noch eine Korrektur Hallo, für den ersten Faktor des Integranden habe ich anstatt t versehentlich jedesmal gamma geschrieben.
Genauer: Hinter "Für (b) das Integral berechnen, wobei F ..." steht da falsch:
Richtig muss da stehen: . Für den Weg soll also ausgerechnet werden. Für den anderen Weg soll dementsprechend ausgerechnet werden.
Danke auch von mir an sibelius84. |
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| 03.11.2017, 23:42 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: noch eine Korrektur Für Y2 lautet die lösung wie folgt... stimmt das? [attach]45577[/attach] die Zusammenhänge hast du gut aufgeschrieben aber das steht ich soll aus b etwas herleiten... wie soll das denn gehen? |
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| 04.11.2017, 11:10 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht ok aus. Aus Theorie mach Praxis: Theorie: "Das Ergebnis bei der Integration von Gradientenfeldern über (differenzierbare...) Kurven hängt nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab." => Praxis: "Hat man ein Vektorfeld und zwei unterschiedliche Kurven mit dem selben Anfangs- und dem selben Endpunkt, und haben die Kurvenintegrale des Feldes über diese zwei Kurven unterschiedliche Werte, dann kann bereits das Feld kein Gradientenfeld mehr sein." Grüße sibelius84 |
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| 05.11.2017, 11:50 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also für Y1 lautet die Lösung (p+3)/4 und für Y2, (p+2)/3 und daraus folgt dann durch "Weg 1 = Weg 2" -> (p+3)/4 = (p+2)/3... und muss ich das jetzt einfach umformen und eine eindeutige Lösung finden und ich bin fertig? |
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| 05.11.2017, 11:55 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gilt tatsächlich "Weg 1 = Weg 2"? Der Punkt ist doch, dass du rausfinden willst, dass über unterschiedliche Kurven integriert was anderes rauskommt. Nur Anfangs- und Endpunkt müssen identisch sein. Meintest du evtl "Anfangs- und Endpunkt von Weg 1 = Anfangs- und Endpunkt von Weg 2, und Weg 1 ungleich Weg 2"? |
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| 05.11.2017, 13:08 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ich glaube das muss != also ungleich sein... ist dies dann die Bedingung, dass was anderes kommt, wenn man über unterschiedliche kurven integriert? dann muss ich noch anfangspunkt = endpunkt zeigen, also für [0, 1], für 0 und 1?! |
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| 05.11.2017, 21:23 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Knightfire66, naja, der zentrale Satz ist ja "Kurvenintegrale über Gradientenfelder hängen nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab." Nun hast du ein Feld f vorliegen, von dem du wissen willst, ob es sich um ein Gradientenfeld handelt. Jetzt stellst du fest, dass Kurvenintegrale über f eben NICHT nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängen. Ja, konkret heißt das: dass für zwei unterschiedliche Kurven mit gleichem Anfangs- und Endpunkt unterschiedliche Ergebnisse herauskommen. Ist dir klar, was nun die Folgerung ist? Grüße sibelius84 PS: Manche Sachen muss man nicht beweisen, die sind offensichtlich, etwa Anfangspunkt (0,0,0) und Endpunkt (1,1,1) für beide Kurven (t,t,t) bzw (t,t,t²) mit 0 <= t <= 1. |
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| 05.11.2017, 21:37 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, dass der zentrale satz falsch ist
also wie wärs wenn ich sage: (p+3)/4=(p+2)/3 -> p = 1 -> also haben wir für p = 1 nen Gradientenfeld, denn wir haben in a ja auch schon durch die Rotationsbedingung gezeigt, dass wir nen Gradientenfeld haben... ok ist klar... aber wie zeige ich jetzt, dass wir für alle anderen p 's keine Gradientenfelder haben? |
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| 05.11.2017, 21:59 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehst du, wo dein Denkfehler liegt? |
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| 06.11.2017, 10:19 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ich glaube ich habs verstanden... das ist dann eben kein Gradientenfeld? ich habe gedacht ich schreib das so auf: (p+3)/4=(p+2)/3 -> p=1 -> Gradientenfeld d.h. wenn also (p+3)/4!=(p+2)/3 -> p!=1 -> kein Gradientenfeld das heißt, wir haben dann unterschiedliche wegintegrale |
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| 06.11.2017, 19:28 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, hört sich gut an. 
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| 08.11.2017, 16:47 | Knightfire66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielen dank 
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| 08.11.2017, 17:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist für mich irgendwie in der Logik der falsche Zungenschlag, auch wenn im zweiten Teil dann durchaus die richtige Begründung nachgereicht wird. Konsequent logisch wäre also eher
D.h., die Überprüfung der Wegunabhängigkeit für ein paar konkrete Wege ist nur im Negativfall wirklich aussagekräftig, d.h. zur Feststellung, dass es kein Gradientenfeld ist. Im Positivfall kann man auch Glück gehabt haben, d.h., Integralgleicheit bei unterschiedlichen Wegen trotzdem es kein Gradientenfeld ist. |
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