Grenzwert mit Wurzeln

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Marsuxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Wurzeln
Ich soll den Grenzwert folgender Zahlenfolge berechnen:



Mein Lösungsansatz: Mit der Wurzel erweitern, sodass ich die 3. Binomische Formel anwenden kann.



Aber bei dieser Aufgabe fällt die Wurzel ja nicht weg, da es nicht die Quadratwurzel ist. Habe auch schon versucht, mit der fünften Wurzel aus dem ganzen hoch 4 zu erweitern. Aber dann wird der Rechenweg immer komplizierter.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Setzt man , so geht mit dann . Der Ausdruck kann umgeschrieben werden:



Im letzten Term erkennt man den Differenzenquotienten der Funktion an der Stelle .
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Wurzeln
Hallo,

Zitat:
Grenzwert folgender Zahlenfolge berechnen:



Ich würde für die Wurzel die Näherungsformel

anwenden.

Diese geht aus einer Taylorreihenentwicklung der Funktion für den Entwicklungspunkt hervor und gilt für .

Für Deine Aufgabe setzt Du und und erhältst:



Da die Näherung für betragsmäßig kleine x gilt, wird sie umso besser, je größer Du n wählst. Für den Grenzübergang ist das Ergebnis dann exakt.


Viele Grüße
Michael
Marsuxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Wurzeln
Vielen Dank! Mit beiden Varianten komme ich jetzt auf den Grenzwert 1/5.

Gibt es auch eine einfache Substitution für diesen Grenzwert?

ML_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Wurzeln
Mein Ansatz wäre:



und jetzt wieder die Anwendung der Näherungsformel.
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