Faktorisieren von Bruchtermen mit Variablen

30.10.2017, 21:28

DanteRaven

Faktorisieren von Bruchtermen mit Variablen

Hallo,
Ich komme derzeit nicht wirklich beim Faktorisieren von Bruchthermen mit Variablen weiter. Ich arbeite mich in Vorbereitung auf mein Informatikstudium derzeit unteranderem durch den Vorkurs der Ingenieursmathematik von J. Wendeler. Hier ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(2a^{2}-5ab-12b^{2}\right)}{\left(2a+3b\right)} \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist
$\begin{eqnarray*} \left(a-4b\right) \end{eqnarray*}$

Klar, man klammert im Idealfall einfach den Nenner im Zähler aus und erhält das Ergebniss. Aber wie mache ich das am besten? Ich komm damit nicht klar und Brauch einen Ah Ha Effekt :-)
Setzt man die Lösung hinter den im Zähler ausgeklammerten Therm bekommt man die Ausgangsgleichung im Zähler. Aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch diese Auszuklammern.
Mit Binomische Formeln oder Sachen wie z.B
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{9}{2}x^{2}y+\frac{15}{4}xy^2-\frac{4}{3}xy\right)}{\frac{3}{4}xy } \end{eqnarray*}$
hab ich überhaupt keine Probleme...

Vielen Dank im vorraus!

30.10.2017, 21:54

Equester

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Also generell kannst du einfach ne Polynomdivision machen.
Ansonsten kannst du auch ein wenig basteln. Dass der erste Summand des zweiten Faktors im Zähler ein a sein muss, sieht man sehr schnell, denn nur so kommt 2a² zustande. Und auch auf die -4b kommt man schnell, wenn man sich die -12b² anschaut. Dann einfach
(2a+3b)(a-4b) zum Überprüfen ausmultiplizieren und siehe da: Es passt.

30.10.2017, 22:12

DanteRaven

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Danke für deine Antwort, ja das hätte ich erwähnen müssen, die erste und letzte Variable ( 2a² und -12b²) sind kein Problem, aber ich komm irgendwie mit dem Zwischenteil nicht klar. Ich werde mich auf jeden Fall mal in die Polynom Division einlesen.

30.10.2017, 22:16

Equester

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Dann hast du doch schon alles? Der Mittelterm ergibt sich ja dann daraus Augenzwinkern

30.10.2017, 22:45

DanteRaven

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Wie meinst du das mit "ergibt sich daraus"? Immernoch Bahnhof verwirrt

Aber dank dir habe ich was (vermutlich) viel wichtigeres verstanden! Die Polynomdivision. In meinem Buch wird das "Division einer Summe durch eine Summe, Bruchterme, zerlegen in Faktoren" genannt. Stände da "Polynomdivision" hätte ich es schon längst nachgeschlagen.
Auf Mathebibel wird das sehr gut erklärt... Anders als in dem Buch (kann den Seitennamen auch noch löschen wenn das nicht gern gesehen wird)
Trotzdem würde ich gerne noch das einfache ausklammern bei komplexeren Termen können...

31.10.2017, 03:52

ML_

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RE: Faktorisieren von Bruchtermen mit Variablen
Hallo,

Zitat:

Hier ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(2a^{2}-5ab-12b^{2}\right)}{\left(2a+3b\right)} \end{eqnarray*}$

Die einfachste Variante ist die Polynomdivision. Das funktioniert wie schriftliches Dividieren. Schau's Dir an, wenn Du es noch nicht kennst.
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision

Ansonsten kannst Du natürlich auch heuristisch eine Faktorisierung probieren.
Wir sehen aufgrund der Quadrate und des gemischten Terms, dass in jedem Term ein a und ein b vorkommen muss. Also machen wir voller Vertrauen, dass alles sich in Wohlgefallen auflösen möge, folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (2a^2-5ab-12b^2)=(z_1 a + z_2 b) (z_3 a + z_4 b) \end{eqnarray*}$

Randbedingungen
$\begin{eqnarray*} z_1 \cdot z_3 = 2 \end{eqnarray*}$ (*)
$\begin{eqnarray*} z_2 \cdot z_4 = -12 \end{eqnarray*}$ (**)
$\begin{eqnarray*} z_1 \cdot z_4 + z_2 \cdot z_3 = -5 \end{eqnarray*}$ (***)

Wir haben also nur drei Gleichungen für vier Variablen. Die Fragestellung enthält also offenbar einen Freiheitsgrad.

Zahl z1 festlegen:
$\begin{eqnarray*} z_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Zahl z3 berechnen:
Dann folgt aus (*): $\begin{eqnarray*} z_3 = \frac{2}{z_1} = \frac{2}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Zahl z2 berechnen:
Jetzt setzen wir (**) in (***) ein:

$\begin{eqnarray*} z_1 \cdot \frac{-12}{z_2} + z_2 \cdot z_3 = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{-12}{z_2} + z_2 = -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=3 \lor z_2=-8 \end{eqnarray*}$

Zahl z4 berechnen

Wir wählen $\begin{eqnarray*} z_2=3 \end{eqnarray*}$ und erhalten aus (**):

$\begin{eqnarray*} z_4 = \frac{-12}{3}=-4 \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} (2a^2-5ab-12b^2)=(2 a + 3 b) (a - 4b) \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

PS: Mit $\begin{eqnarray*} z_2=-8 \end{eqnarray*}$ hätte sich ergeben: $\begin{eqnarray*} z_4 = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
Dann hätten wir:
$\begin{eqnarray*} (2a^2-5ab-12b^2)=(2 a - 8 b) \left(a + \frac{3}{2}b\right) \end{eqnarray*}$

31.10.2017, 11:47

DanteRaven

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Vielen Dank, die Heuristik scheint auch ein sehr interessanter Ansatz zu sein. Da werde ich mich auch mal zeitnah einlesen. Wie du aber schon sagst ist die Polynomdivision am besten in diesem Fall und passt auch zu den Aufgaben im Buch (wo es nur nicht Polynomdivision genannt wurde)
Jetzt weiß ich nach was ich suchen muss. Falls ich noch Fragen dazu hab, soll ich die in diesem Thread stellen (auch nach mehreren Tagen) oder einen neuen aufmachen?

31.10.2017, 17:23

Equester

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Hast du fragen zu obigen Problem, dann gerne hier.
Sonst ist es wegen der Übersicht (und der Schnelligkeit einer Antwort) sicher besser, wenn du nen neuen Thread aufmachst Augenzwinkern

02.11.2017, 18:12

DanteRaven

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OK, wieder mal stehe ich auf dem Schlauch. Diesmal bei was ganz einfachen.
$\begin{eqnarray*} \left(a^{3}-b^{3}\right):\left(a-b\right) \end{eqnarray*}$

Erster Schritt stellt sich die Frage "Was mal a=a³" Also ist die erste Variable a².
Im nächsten Schritt multiplizieren ich den Term (a-b) mit a² und erhalte
$\begin{eqnarray*} -\left(a^{2}-a^{2}b\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich den Rest Definieren. a³ löst sich auf, aber was ist -b³ + a²b ?

Ich hoffe ihr könntet mir folgen. Ich weiß das man das auf den ersten Blick ausklammern kann, aber ich möchte das im Zusammenhang mit der Polynomdivision verstehen.

Danke Wink

02.11.2017, 21:53

Equester

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Also hier würde ich in der Tat die Polynomdivision vorziehen, als groß zu raten. Man erkennt zwar recht schnell, dass man etwas in der Gestalt (a-b)(a²+?+b²) = a³-b³ hat, aber mit der Polynomdivision hat man es fast direkt Augenzwinkern

.
Du hast da gleich nen Schreibfehler. Es muss nämlich a³ in Klammer heißen. Hast dann:

(a³ -b³) : (a-b) = a²+...
-(a³-a²b)
_________
a²b -b³

(Das -b³ lässt man normal oben, bis es gebraucht wird)
Jetzt musst du das a²b wegbekommen. Überlege dir also, wie du das wegbekommst, wenn du mit a multiplizierst Augenzwinkern

. Beende mit derlei Überlegungen die Polynomdivision.

03.11.2017, 16:46

DanteRaven

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Ah, vielen Dank. Man lässt die Variablen solange unbeachtet bis sie sich durch eine passende Variable auflöst und schreibt sie so lange in den "Rest". Ja, den Schreibfehler hatte ich nur hier. Auf dem Zettel war das richtig :-)
Nach a²b-b³ folgt die Multiplikation mit +ab, --> -(a²b-ab²), Rest -ab²-b³, Multiplikation mit b² -->
-(-ab²+b³) Rest 0
Lösung: a²+ab-b²

Bis demnächst Wink

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