Untersuchen der rekursiven Folge auf Konvergenz

31.10.2017, 10:03

xxJan

Untersuchen der rekursiven Folge auf Konvergenz

Guten Morgen alle zusammen,
$\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Untersuchen Sie die Folge bn auf Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} b_{0} = 1, b_{n+1} = \frac{bn}{2}+\sqrt{bn} \end{eqnarray*}$

Nach dem Monotonieprinzip muss ich ja dann die Monotonie und die Beschränktheit nachweisen.

deshalb habe ich zunächst die ersten zwei Werte ausgerechnet und habe die Annahme gemacht, dass die Folge monoton steigt.

$\begin{eqnarray*} b_{0} = 1 <br /> b_{1} = \frac{1}{2} + \sqrt{1} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt wollte ich dies nun durch Induktion beweisen.

IA: $\begin{eqnarray*} b_{1} = \frac{b_{0}}{2} + \sqrt{b_{0} } = \frac{3}{2} \leq 1 = b_{0} \end{eqnarray*}$

IV: für ein beliebiges aber festes n gelte:
$\begin{eqnarray*} b_{n}\leq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

IB: Dann gilt auch:
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}\leq b_{n+2} \end{eqnarray*}$

IS: ?

Leider weiß ich nun nicht wie ich den Induktionsschluss angehe.

Ich hoffe einer von euch kann mir helfen vielen Dank schonmal im Voraus.

LG
Jan

31.10.2017, 10:10

HAL 9000

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Spezialfall $\begin{align*} T(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{x} \end{align*}$ auf $\begin{align*} D=[1,4] \end{align*}$ dieses Szenarios.

31.10.2017, 11:17

xxJan

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Vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe mir das gerade durchgelesen, leider weiß ich nicht wie ich das umsetzen soll.

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{a+a_{n+1}}{1+a_{n+1}} = 1-\frac{1-a}{1+a_{n+1}} < 1-\frac{1-a}{1+a_n} = \frac{a+a_n}{1+a_n} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Das war ja die Folgerung die du mir geschickt hattest; in der Form müsste ja dann mein Induktionsschluss sein, damit er als Beweis gilt.

Nun weiß ich aber nicht wie ich das für meine Aufgabe formulieren muss, damit der Beweis erbracht ist.

31.10.2017, 11:40

HAL 9000

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Ist dir erstmal soweit klar, dass $\begin{align*} T(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{x} \end{align*}$ eine monoton wachsende Funktion ist?

Falls ja, dann darfst du ja aus der Induktionsvoraussetzung $\begin{align*} b_n\leq b_{n+1} \end{align*}$ wegen dieser Monotonie dann $\begin{align*} T(b_n) \leq T(b_{n+1}) \end{align*}$ folgern, und das entspricht ja exakt $\begin{align*} b_{n+1} \leq b_{n+2} \end{align*}$ , also der zu beweisenden Induktionsbehauptung - das war's auch schon.

31.10.2017, 19:58

xxJan

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Ja weil egal welche zahl ich für x einsetze der Wert steigen würde oder gibt es einen anderen Grund?
Muss ich das auch Beweisen oder darf ich das einfach behaupten?

31.10.2017, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von xxJan
Muss ich das auch Beweisen oder darf ich das einfach behaupten?

Wenn du den von mir skizzierten Weg gehen willst, musst du die Monotonie natürlich ordentlich begründen. Das Drumherumreden "muss man das tun?" deutet meist drauf hin, dass es Unsicherheiten beim Nachweis gibt.

31.10.2017, 21:22

xxJan

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Da hast du leider recht ich bin noch nicht so geübt im Beweise führen deshalb weiß ich meistens noch nicht wie ich am besten ansetze...
Kannst du mir vielleicht Hilfestellung beim Ansatz geben?

02.11.2017, 09:38

HAL 9000

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Wie kann man nachweisen, dass $\begin{align*} T(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ monoton wachsend ist?

Da gibt es verschiedene Möglichkeiten, je nach Vorwissen, z.B. seien hier zwei davon genannt:

a) Wenn du z.B. weißt, dass Potenzfunktionen $\begin{align*} x\mapsto x^{\alpha} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ sowie Exponenten $\begin{align*} \alpha>0 \end{align*}$ monoton wachsend sind, dann ist das hier vorliegende $\begin{align*} T(x) \end{align*}$ als Linearkombination (mit positiven Koeffizienten!) zweier solcher Potenzfunktionen klar auch wieder monoton wachsend.

b) Kannst auch die Ableitung benutzen, d.h., es ist $\begin{align*} T'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}>0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ , das ist ebenso hinreichend für Monotonie.

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