Erwartungswert

31.10.2017, 16:30

FelNa1109

Erwartungswert

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,p) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} (p(\omega) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega) \end{eqnarray*}$ und eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X(\omega)> 0 \end{eqnarray*}$ für mindestens ein $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert. Zeigen Sie:

a) $\begin{eqnarray*} E(X)>0 \end{eqnarray*}$

b) Es gibt $\begin{eqnarray*} \omega 1 \omega 2 \in \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega 1) \leq E(X) \leq X(\omega 2) \end{eqnarray*}$

Die a) hätte ich direkt mit der Summenformel für den Erwartungswert gelöst, da die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p(\omega) > 0 \end{eqnarray*}$ und es mindestens ein $\begin{eqnarray*} X(\omega)> 0 \end{eqnarray*}$ gibt, ist die Summe auch größer Null.

b) hier bräuchte ich bitte mal einen Ratschlag/Denkanstoß. Rein theoretisch ist das ja klar, da der Erwartungswert ja so etwas wie ein Mittelwert/Durchschnitt ist...

Hoffe mir kann jemand helfen, Dankeschön! (.^_^.)

31.10.2017, 17:25

sibelius84

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RE: Erwartungswert
Hallo FelNa1109,

Zitat:

Original von FelNa1109
b) Es gibt $\begin{eqnarray*} \omega 1 \omega 2 \in \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega 1) \leq E(X) \leq X(\omega 2) \end{eqnarray*}$

...

b) hier bräuchte ich bitte mal einen Ratschlag/Denkanstoß. Rein theoretisch ist das ja klar, da der Erwartungswert ja so etwas wie ein Mittelwert/Durchschnitt ist...

In der b) stecken ja zwei Behauptungen drin. Fussel die am besten mal auseinander und knöpf dir dann eine nach der anderen vor.

So, wie du den Wahrscheinlichkeitsraum notierst und von der Summenformel für den EW sprichst, sprechen wir von einer diskreten ZV, oder? So dass es gerechtfertigt wäre, folgenden Ausdruck hinzuschreiben und zu benutzen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X) = \sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\omega) \end{eqnarray*}$ .

Dann würde ich die einzelnen Behauptungen am besten durch Widerspruch beweisen, kriegt man relativ leicht hin unter Ausnutzung der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{\omega\in\Omega}P(\omega) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Grüße
sibelius84

31.10.2017, 17:41

FelNa1109

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Erstmal danke fürs Antworten. Ich schätze du willst, das ich diese beiden Ungleichungen jetzt einzeln beweise, und das mittels Widerspruch?

Es gibt $\begin{eqnarray*} \omega 1 \in \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega 1) \leq E(X) \end{eqnarray*}$

Es gibt $\begin{eqnarray*} \omega 2 \in \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E(X) \leq X(\omega 2) \end{eqnarray*}$

Was die Summenformel angeht hast du Recht, wir haben bisher auch nur diskrete ZV eingeführt. Wie ich dabei jetzt die Normiertheit verwenden soll, ist mir aber leider nicht ganz so klar.

31.10.2017, 17:51

sibelius84

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Genau, das sind die einzelnen Behauptungen! smile

Nehmen wir uns mal die erste. Da wollen wir nun also das Gegenteil annehmen (um es zum Widerspruch zu führen). Weißt du, wie man ein "es gibt" ins Gegenteil verkehrt?

31.10.2017, 18:05

FelNa1109

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$\begin{eqnarray*} \forall \omega 1\in \Omega : X(\omega 1) > E(X) \end{eqnarray*}$

31.10.2017, 20:01

sibelius84

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Richtig - und wenn du das jetzt in die Formel für den Erwartungswert einsetzt und die Normierung ausnutzt...?

31.10.2017, 20:24

FelNa1109

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$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} p(\omega ) X(\omega ) > \sum\limits_{\omega \in \Omega} p(\omega ) E(X) = E(X) * \sum\limits_{\omega \in \Omega} p(\omega ) = E(X) * 1 = E(X) \end{eqnarray*}$

Also somit: $\begin{eqnarray*} E(X) > E(X) \end{eqnarray*}$ "Blitz"

31.10.2017, 20:26

sibelius84

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perfekt

31.10.2017, 20:38

FelNa1109

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Danke dir, die andere UGL mach ich dann auf selbe Art und Weise!
Freude

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