Binomische Formel hoch 3

01.11.2017, 11:10

que

Binomische Formel hoch 3

Meine Frage:
Hallo smile

ich habe seit Stunden einen Denkfehler und komme einfach nicht drauf welchen.. vll könnt ihr mir ja helfen:
und zwar ist die Formel für die binomische Formel mit hoch 3 ja: (a-b)^{3}=(a-b)*(a^{2}+ab+b^{2}) meine Frage ist nun: Rein theoretisch ist ja der Ausdruck in der Klammer nach (a-b) nichts anderes als eine ausmultiplizierte binomische Formel hoch 2... allerdings müsste dann doch "2ab" dastehen... tut´s aber nicht und ich weiß nicht warum...

Meine Ideen:
Selbst wenn ich versuche mit der allgemeinen Formel (a-b)^{n}=(a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1}) auszurechnen kommt bei mir immer das falsche raus..
Ich bitte um eure Unterstützung!!!

01.11.2017, 11:15

HAL 9000

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Du verwechselst da was: Einerseits ist

$\begin{align*} (a-b)^3 = (a-b) (a^2-2ab+b^2)\qquad (1) \end{align*}$ .

richtig, andererseits auch

$\begin{align*} a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)\qquad (2) \end{align*}$ .

ABER: Es gilt NICHT $\begin{align*} a^3-b^3 \stackrel{?}{=} (a-b)^3 \end{align*}$ , deswegen darfst du auch nicht die linke Seite von (1) mit der rechten Seite von (2) gleichsetzen. unglücklich

Zitat:

Original von que
Selbst wenn ich versuche mit der allgemeinen Formel (a-b)^{n}=(a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})

Dieselbe Verwechslung in grün, d.h. für allgemeines $\begin{align*} n \end{align*}$ . Richtig ist hier

$\begin{align*} a^n-b^n = (a-b)\cdot \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+ \ldots + ab^{n-2}+b^{n-1}\right) \end{align*}$ .

01.11.2017, 11:22

ML_

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RE: Binomische Formel hoch 3

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a-b)^{3}=(a-b) \cdot (a^{2}+ab+b^{2}) \end{eqnarray*}$

Ne, das müsste werden $\begin{eqnarray*} (a-b)^3 = (a-b) \cdot (a^2-2ab+b^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

meine Frage ist nun: Rein theoretisch ist ja der Ausdruck in der Klammer nach (a-b) nichts anderes als eine ausmultiplizierte binomische Formel hoch 2... allerdings müsste dann doch "2ab" dastehen... tut´s aber nicht und ich weiß nicht warum...

Genau, und das 2ab hat ein negatives Vorzeichen. Wenn Du rechnest
$\begin{eqnarray*} (a-b) \cdot (a-b) \end{eqnarray*}$
musst Du jeden Summanden mit jedem Summanden multiplizieren, also
$\begin{eqnarray*} (a-b) \cdot (a-b) = \underbrace{\,a \cdot a\,}_\textrm{1. Summand x 1. Summand} + \underbrace{a \cdot (-b)}_\textrm{1. S. x 2. S.} + \underbrace{(-b) \cdot a}_\textrm{2. S. x 1. S.} + \underbrace{(-b) \cdot (-b)}_\textrm{2. S. x 2. S.} = a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

01.11.2017, 11:40

que123

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Dankeschön!!!

wie würde dann der Rechenweg des folgenden Beispiels aussehen?:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+h)^{3}-1^{3}}{(1+h)} \end{eqnarray*}$

PS: die Lösung ist: (1+h)^2+(1+h)+1)

01.11.2017, 11:42

que123

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Korrektur: im Nenner steht (1+h)-1

01.11.2017, 11:57

HAL 9000

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Naja, das ist ja Gleichung (2) umgestellt zu $\begin{align*} \frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2 \end{align*}$ , und zwar mit $\begin{align*} a=1+h \end{align*}$ und $\begin{align*} b=1 \end{align*}$ .

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