Differentialgleichung lösen

01.11.2017, 11:42

9halbe

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Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} y'(t)=\frac{-2}{(t^2-1)}*y(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(2) = 4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{-2}{t^2-1}*y(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dy=\frac{-2}{t^2-1}*y(t)*dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dy*\frac{1}{y(t)}=\frac{-2}{t^2-1}*dt \end{eqnarray*}$

Und jetzt würde ich integrieren, aber es kommt was komisches raus. Ist es bis hierher richtig?

01.11.2017, 11:48

bijektion

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Warum etwas komisches?

01.11.2017, 12:40

9halbe

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Also was ich danach habe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \int \! y(t)^{-1} \, dy = -2 * \int \! (t^2-1)^{-1} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln (y) = ln (t+1) - ln(1-t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = t+1 - 1-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

01.11.2017, 12:45

bijektion

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Du hast $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ nicht benutzt und die Potenzgesetze nicht beachtet.

01.11.2017, 12:46

9halbe

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Wo genau habe ich die Potenzgesetze nicht beachtet?

Und das AWP benutze ich doch erst später oder?

01.11.2017, 12:49

bijektion

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Zitat:

Wo genau habe ich die Potenzgesetze nicht beachtet?

Da, wo du die Exponentialfunktion anwendest. In der dritten Zeile.

Zitat:

Und das AWP benutze ich doch erst später oder?

Naja, ich würde mal sagen, du solltest $\begin{eqnarray*} \int_4^y~\frac{1}{s}~\dd s = \int_2^t~\frac{-2}{s^2-1}~\dd s \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen um deine gesuchte Funktion zu erhalten.

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01.11.2017, 13:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von 9halbe
$\begin{eqnarray*} ln (y) = ln (t+1) - ln(1-t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = t+1 - 1-t \end{eqnarray*}$

Wenn man einfach den "ln" wegläßt, müßte es eigentlich $\begin{eqnarray*} y = t+1 - (1-t) \end{eqnarray*}$ lauten. Nur leider gibt es keine Regel, die einfach das Weglassen des ln zuläßt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2017, 13:12

HAL 9000

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Darüber hinaus sagt schon die Position t=2 des Anfangswerts, dass wir uns rechts der 1 bewegen. Insofern ist auch das $\begin{align*} \ln(1-t) \end{align*}$ mit einem dicken Fragezeichen zu versehen. Korrekterweise lautet die Zeile also erstmal nur

$\begin{align*} \ln|y| = \ln|t+1| - \ln|1-t| + C_1 \end{align*}$

mit zu bestimmender Konstante $\begin{align*} C_1 \end{align*}$ und der noch zu klärenden Frage, wie jeweils die Beträge aufzulösen sind.

01.11.2017, 13:13

9halbe

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ah achja..stimmt.

Also:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{t+1}{1-t} \end{eqnarray*}$

so ist es besser oder?

01.11.2017, 13:49

9halbe

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ist das Anfangswertproblem jetzt gelöst? Es kommt ja irgendwie nicht 4 raus wenn t=2

01.11.2017, 14:24

HAL 9000

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Es gibt mehrere mögliche Wege, den Anfangswert in die Rechnung einfließen zu lassen.

1) Die DGL gleich "bestimmt" integrieren, vom Anfangswert ausgehend bis zum akutellen Wert, wie es bijektion oben demonstriert hat.

2) Bei unbestimmter Integration ist zwingend eine Integrationskonstante mitzuführen. Deren Wert wird dann bestimmt, indem man den Anfangswert in die entsprechende Gleichung einsetzt und nach der Integrationskonstanten umformt. Das ist der Weg, auf den ich in meinem letzten Beitrag aus war.

Du hingegen verfolgst bisher die Methode

3) Integrationskonstante gleich Null setzen und hoffen, dass es damit klappt.

Tja, und es klappt hier aber nicht.

01.11.2017, 14:54

9halbe

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Okay, jetzt habe ich es wohl verstanden.

$\begin{eqnarray*} y(t)= \frac{t+1}{1-t}+C \end{eqnarray*}$

AWP:

$\begin{eqnarray*} y(2) = \frac{2+1}{1-2}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(2) = \frac{3}{-1}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = -3+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7= C \end{eqnarray*}$

So?

01.11.2017, 15:00

HAL 9000

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Die Integrationskonstante fällt direkt dort an, wo integriert wird. Es macht keinerlei Sinn, erst eine nichtlineare Operation (wie hier die Exponentialfunktion) durchzuführen und erst danach eine Konstante dazuzuaddieren - das ist völliger Humbug. unglücklich

unglücklich

01.11.2017, 15:03

9halbe

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Oh man, ich stehe gerade wohl auf dem Schlauch. Ich fange nochmal hier an:

Zitat:

Original von HAL 9000
Korrekterweise lautet die Zeile also erstmal nur

$\begin{align*} \ln|y| = \ln|t+1| - \ln|1-t| + C_1 \end{align*}$

was muss ich als nächstes tun? Ich würde auf beiden Seiten den ln nehmen.

01.11.2017, 15:09

HAL 9000

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Nein, nochmal $\begin{align*} \ln \end{align*}$ macht keinen Sinn - der $\begin{align*} \ln \end{align*}$ soll ja gerade weg, also muss exponentiert werden, spricht $\begin{align*} \exp(\ldots) \end{align*}$ . Das ergibt

$\begin{align*} |y| = \exp(\ln|t+1|-\ln|1-t|+C_1) = \frac{|t+1|}{|1-t|}\cdot e^{C_1} \end{align*}$ .

Betragsauflösung und die damit verbundenen Faktoren $\begin{align*} \pm 1 \end{align*}$ kann man dann bündeln in der einen reellen Konstante $\begin{align*} C:=\pm e^{C_1} \end{align*}$ (es gilt natürlich lokal nur eines der beiden Vorzeichen), was zu

$\begin{align*} y = C\cdot \frac{t+1}{1-t} \end{align*}$

führt. Jetzt kann das $\begin{align*} C \end{align*}$ über den Anfangswert bestimmt werden.

Zitat:

Original von 9halbe
$\begin{eqnarray*} y'(2) = 4 \end{eqnarray*}$

Ist wirklich der Ableitungswert an der Stelle 2 vorgegeben? Üblich ist eher der Funktionswert, also

$\begin{align*} y(2)=4 \end{align*}$ . verwirrt

verwirrt

01.11.2017, 15:14

9halbe

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Achso okay...da wäre ich jetzt erstmal nicht drauf gekommen aber im Nachhinein verstehe ich es. Freude

Freude

Weiter geht's:

$\begin{eqnarray*} 4 =-2C \end{eqnarray*}$ woraus ja dann folgt, dasss

$\begin{eqnarray*} C =-2 \end{eqnarray*}$ sein muss.

01.11.2017, 15:19

HAL 9000

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$\begin{align*} C=-2 \end{align*}$ ist auf jeden Fall falsch. Bevor wir zur Berechnung des richtigen $\begin{align*} C \end{align*}$ kommen, ist unausweichlich noch meine Nachfrage

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von 9halbe
$\begin{eqnarray*} y'(2) = 4 \end{eqnarray*}$

Ist wirklich der Ableitungswert an der Stelle 2 vorgegeben? Üblich ist eher der Funktionswert, also

$\begin{align*} y(2)=4 \end{align*}$ . verwirrt

verwirrt

zu beantworten!

01.11.2017, 15:21

9halbe

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da habe ich mich verschrieben. Es ist der Funktionswert y(2)=4 gegeben.

01.11.2017, 15:23

HAL 9000

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Na dann setze mal richtig $\begin{align*} t=2 \end{align*}$ und $\begin{align*} y(2)=4 \end{align*}$ in die Gleichung $\begin{align*} y(t) = C\cdot \frac{t+1}{1-t} \end{align*}$ ein.

01.11.2017, 15:24

9halbe

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oh ups...

4=-3C

Also C=-4/3

01.11.2017, 15:26

HAL 9000

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Was lange währt... Da kann dann vielleicht eine Probe nicht schaden - vorausgesetzt, dort verrechnet man sich nicht auch noch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2017, 15:27

9halbe

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Vielen Dank für deine Hilfe!!! Freude

Freude

Freude

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