Untergruppen Gleichheit beweisen

01.11.2017, 12:28

Arash

Untergruppen Gleichheit beweisen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} U, V \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppen und $\begin{eqnarray*} g, h \in G \end{eqnarray*}$ . Zeige:

$\begin{eqnarray*} gU=hV\Rightarrow U=V \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Sieht ja eigentlich nicht besonders schwer aus, aber ich komme nicht drauf, wie man es beweist.

Wenn $\begin{eqnarray*} g \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \in V \end{eqnarray*}$ ist die Aussage ja klar. Aber das ist nunmal nicht gegeben.

Ich weiß, was Nebenklassen sind, und denke, dass die Aufgabe auch damit zusammenhängen muss, habe aber nicht geschafft, die mir bekannten Aussagen zu Nebenklassen irgendwie einzubauen.

Vielleicht kann mir jemand zu der Aufgabe einen Tipp geben?

Danke!

01.11.2017, 12:57

Elvis

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Tipp: Nebenklassen nach U sind disjunkt. Liegt 1 in U, so ist also xU=U für alle x aus G.

01.11.2017, 14:40

Arash

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Hallo Elvis,

danke für deine Antwort. Das Nebenklassen disjunkt sind, ist mir klar, aber leider verstehe ich deine Folgerung daraus nicht. Das Einselement liegt doch in jeder Untergruppe U. Wieso heißt das, dass die Nebenklassen xU=U für alle x aus G sind?

Dass sie disjunkt sind, bedeutet doch, dass sie entweder gleich sind, oder kein Element gemeinsam haben. Aber hier haben wir es ja mit verschiedenen Untergruppen zu tun... Wie können wir das verwenden?

01.11.2017, 18:08

Elvis

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Tut mir leid, ich hab's vermasselt ... natürlich ist 1 in jeder Untergruppe U und auch in jeder Untergruppe V. Hammer

Ich habe die wichtige Voraussetzung aufschreiben wollen, dass 1 in xU liegt, und daraus folgt, dass xU=U ist. Jetzt kannst du aber damit den Beweis zu Ende führen. smile

01.11.2017, 18:12

IfindU

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Bist du dir da sicher Elvis?

Wenn $\begin{eqnarray*} G = (\mathbb Z, +), \quad U = (2\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist mit $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} 1 + U \neq U \end{eqnarray*}$ . Sogar $\begin{eqnarray*} (1+ U) \cap U = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

01.11.2017, 18:16

Elvis

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@IfindU
Ja, ich bin sicher. Ich rede von multiplikativ geschriebenen Gruppen, wo 1 das neutrale Element ist. Das passt zur Aufgabe, in der von gU die Rede ist. In deinem Beispiel sind die Restklassen verschieden, weil das neutrale Element 0 nicht in 1+U liegt.

01.11.2017, 18:17

IfindU

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Mir war spontan keine schöne multiplikative Gruppe eingefallen. Aber wenn man es multiplikativ schreibt, steht dort $\begin{eqnarray*} xU \neq U \end{eqnarray*}$ .

01.11.2017, 18:18

Elvis

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Das neutrale Element muss drin sein. Das ist der Witz in der Aufgabe.

01.11.2017, 18:21

IfindU

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Ok. $\begin{eqnarray*} G: = \{ e^{ix} | x\in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U = \{ -1, 1\} \end{eqnarray*}$ ist mit der Multiplikation diesmal eine Gruppe und Untergruppe. Nun ist $\begin{eqnarray*} i U \neq U \end{eqnarray*}$ .

01.11.2017, 18:26

Elvis

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Klar, weil $\begin{eqnarray*} 1\notin iU \end{eqnarray*}$ . Lies dir noch mal die AUFGABE durch, dann verstehst du den Witz. Augenzwinkern

01.11.2017, 18:31

IfindU

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RE: Untergruppen Gleichheit beweisen

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe

Check.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U, V \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppen

Check.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g, h \in G \end{eqnarray*}$

Check.

Zitat:

Zeige: $\begin{eqnarray*} gU=hV\Rightarrow U=V \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen, und keine Voraussetzung.

Also welche der 3 Voraussetzungen, habe ich missverstanden, dass man für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 1 \in x U \end{eqnarray*}$ folgern kann? verwirrt

01.11.2017, 18:37

Elvis

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Nicht so einfach wie ich dachte ? Dann verrate ich es mal:
$\begin{eqnarray*} gU=hV\Rightarrow 1\in V=h^{-1}gU=:xU\Rightarrow xU=U\Rightarrow V=U \end{eqnarray*}$

01.11.2017, 18:44

IfindU

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Ich wusste nicht, dass du die Struktur $\begin{eqnarray*} g U = hV \end{eqnarray*}$ schon benutzt. Ich habe dich missverstanden. Entschuldige! Gott

01.11.2017, 18:54

Elvis

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Kein Problem, ich hatte den Hinweis ein bißchen verklausuliert aufgeschrieben, damit Arash die Möglichkeit zum Nachdenken erhalten blieb. (Die Aufgabe werde ich mir merken, ich finde sie recht tricky.)

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