Aussagenlogik: Beweis für eine Äquivalenz

01.11.2017, 12:57

Croomer

Aussagenlogik: Beweis für eine Äquivalenz

Meine Frage:
Die Aufgabe ist "Beweisen Sie die Äquivalenz
$\begin{eqnarray*} [(A \iff B) \vee ((A \Rightarrow B) \wedge \neg(B \Rightarrow \neg A))] \iff \neg [\neg (\neg A \vee B) \vee (\neg A \wedge B)] \end{eqnarray*}$
(Hinweis Wahrheitstabelle)"

Mein Problem ist, dass ich garnicht weis, was genau ich tun soll.

Meine Ideen:
Deshalb hab ich erstmal versucht, umzuformen:
$\begin{eqnarray*} [(A \iff B) \vee ((A \Rightarrow B) \wedge \neg(B \Rightarrow \neg A))] \iff \neg [(A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B)] \iff \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [(A \iff B) \vee ((A \Rightarrow B) \wedge \neg(B \Rightarrow \neg A))] \iff (\neg A \vee B) \wedge (A \vee \neg B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [(A \iff B) \vee ((A \Rightarrow B) \wedge (B \wedge A))] \iff (\neg A \vee B) \wedge (A \vee \neg B) \end{eqnarray*}$

Dann hab ich mal eine kleine Wahrheitstabelle aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} Fall & A & \neg A & B & \neg B & A\Rightarrow B\\ 1 & f & w & f & w & w\\ 2 & f & w & w & f & w\\ 3 & w & f & f & w & f\\ 4 & w & f & w & f & w\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beim Schreiben ist mir aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} (A \iff B) \end{eqnarray*}$ gilt in 1&4
$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \end{eqnarray*}$ gilt in 1,2&4
$\begin{eqnarray*} (B \wedge A) \end{eqnarray*}$ gilt in 1&4
$\begin{eqnarray*} (A \Rightarrow B) \wedge (B \wedge A) \end{eqnarray*}$ gilt in 1&4
$\begin{eqnarray*} [(A \iff B) \vee ((A \Rightarrow B) \wedge (B \wedge A))] \end{eqnarray*}$ gilt also in 1&4

$\begin{eqnarray*} (\neg A \vee B) \wedge (A \vee \neg B) \end{eqnarray*}$ kann nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} (A \iff B) \end{eqnarray*}$ gilt. Also in 1&4

Aber dass beide Seiten der Äquivalenz in Fall 1&4 gelten ist ja kein Beweis für die Äquivalenz, oder?

01.11.2017, 14:22

Croomer

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Mir ist gerade aufgefallen, dass dann ja quasi (A<=>B) <=> (A<=>B), was ja richtig ist. Reicht das dann doch als beweis?

01.11.2017, 15:22

Dopap

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sieht gut aus. Es ist tatsächlich eine Tautologie wie man mit der Wahrheitstafel
des Originals (!) zeigt:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:


 A B  ¦  ((A <-> B) v ((A -> B) & ¬(B -> ¬A))) <-> ¬(¬(¬A v B) v (¬A & B))

 -----+-------------------------------------------------------------
 1 1  ¦      1    1     1    1 1   0 0        *1  1 0 0  1    0  0  0    
 1 0  ¦      0    0     0    0 0   1 0        *1  0 1 0  0    1  0  0    
 0 1  ¦      0    0     1    0 0   1 1        *1  0 0 1  1    1  1  1    
 0 0  ¦      1    1     1    0 0   1 1        *1  1 0 1  1    0  1  0

Die * Spalte bezieht sich auf die Haupt-Bijunktion.

Man kann viel vereinfachen bis hin zur Disjunktiven Normalform (DNF) :

(A & B) v (¬B & ¬A) v (A & ¬B) v (B & ¬A)

und die ist offensichtlich eine Tautologie.

Bem : die Pfeile mt Doppelstrich sind keine Verknüpfungszeichen. Korrekt wäre also

$\begin{eqnarray*} ((A \to B) \lor ((A \to B) \land ¬(B \to ¬A))) \Leftrightarrow ¬(¬(¬A \lor B) \lor (¬A \land B)) \end{eqnarray*}$

oder
aber wenn es welche sein sollen, dann muss man $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ ersetzen.

01.11.2017, 15:45

Croomer

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Ok, so eine große Tafel habe ich noch nie gesehen.

Die Wahrheitswerde beziehen sich immer auf <=>, =>, v oder & und zusätzlich noch auf die "nicht", oder?

Kann ich das immer so machen? Also einfach eine Tabelle machen, für alle Fälle von (A,B) dann einfach jede Verbindung durchhangeln und schauen ob die "Hauptverbindung" (hier zweimal "v") jeder Seite wahr/falsch ist. Ist die in jedem Fall gleich, gillt dass beide Seiten äquivalent sind, oder?

Edit:
Auf dem Aufgabenblatt steht <=> und => mit Doppelstrichen, deswegen habe ich das einfach so übernommen.

01.11.2017, 16:26

Dopap

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Zitat:

Original von Croomer
Ok, so eine große Tafel habe ich noch nie gesehen.

Die Wahrheitswerde beziehen sich immer auf <=>, =>, v oder & und zusätzlich noch auf die "nicht", oder?

wenn es Verknüpfungszeichen sein sollen, dann ja.
Schau mal den Kopf der Tabelle an. Dort stehen nur Verknüpfungszeichen!

Zitat:

Kann ich das immer so machen? Also einfach eine Tabelle machen, für alle Fälle von (A,B) dann einfach jede Verbindung durchhangeln und schauen ob die "Hauptverbindung" (hier zweimal "v") jeder Seite wahr/falsch ist. Ist die in jedem Fall gleich, gillt dass beide Seiten äquivalent sind, oder?

ja, das kann man.

Zitat:

Edit:
Auf dem Aufgabenblatt steht <=> und => mit Doppelstrichen, deswegen habe ich das einfach so übernommen.

das ist syntaktischer Murks, denn einmal ist mit $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ eine Verknüpfung (Bijunktion ) gemeint und später eine Äquivalenz (Relation ).
Wie oben schon gesagt, entweder oder...

01.11.2017, 17:27

Croomer

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Ok, vielen Dank.
Das wird mir bei meinen anderen Aufgaben auf jeden Fall auch sehr helfen.

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