positiv semi definite Matrix mit Variablen

01.11.2017, 14:27

MatheErsti123

positiv semi definite Matrix mit Variablen

Hallo,

ich muss für einen Zwischenschritt meiner Arbeit bestimmen, ob es für gegebene Matrizen mit Variablen eine Variablenbelegung gibt, in der diese Matrix positiv semi definit wird.
, also z.B. Gibt es $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 4 \\ b & c & 0 \\ 1 & 1 & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ positiv semi definit ist?

Da solche Matrizen durchaus auch in größeren Dimensionen auftreten können, suche ich ein Programm, in dem ein Verfahren zu diesem Problem vielleicht schon realisiert wurde oder es eurer Meinung nach relativ leicht dort umzusetzen wäre.

Meine Ideen wären die Eigenwerte in Abhängigkeit der Variablen zu bestimmen (nach Möglichkeit symbolisch) und dann Belegungen als Lösung eines LP oder SDP zu bestimmen.

Welche Programme wären dafür empfehlenswert?

Gruß MatheErsti

01.11.2017, 23:26

sibelius84

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Kriegst du das als LOP hin? Wenn du es mit dem Minorenkriterium machst, treten doch massig Produkte wie abc... auf, oder?

Evtl. besser Berechnung des charakteristischen Polynoms und numerische Bestimmung der Nullstellen = Eigenwerte? Geht ja nur drum, ob die nichtnegativ sind.

02.11.2017, 11:29

HAL 9000

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Zunächst ist noch folgendes zu beachten: Die Verbindung von positiver (Semi-)Definitheit einer Matrix mit deren Eigenwerten ist nur für symmetrische (bzw. im komplexen Fall hermitesche) Matrizen zulässig!!! Mitunter wird positive Definitheit bei reellen Matrizen so streng ausgelegt, dass Symmetrie der Matrix vorausgesetzt wird. Etwas lockerer ist es, wenn man dies nicht fordert, sondern das ganze dahingehend verallgemeinert, dass eine reelle quadratische Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ genau dann positiv (semi-)definit ist, wenn dies für ihren Symmetrieanteil $\begin{align*} A_S:=\frac{1}{2}\left(A+A^T\right) \end{align*}$ zutrifft.

In dem Sinne wären hier dann die Eigenwerte von $\begin{align*} A_S = \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} & \frac{5}{2} \\ \frac{b}{2} & c & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} & d \end{pmatrix} \end{align*}$ zu betrachten. Augenzwinkern

Und man findet hier locker Belegungen von $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ , so dass sämtliche Eigenwerte positiv sind, z.B. indem man $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} a,c,d \end{align*}$ so groß wählt, dass man etwa mit Gerschgorin-Kreisen argumentieren kann.

02.11.2017, 19:44

sibelius84

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Hallo zusammen,

also ich kenne da einfach die folgende Definition: $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ heißt positiv semidefinit, wenn
$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}^n:\quad x^TAx \geq 0. \end{eqnarray*}$

Dass das Hurwitz-Kriterium im Reellen nur für symmetrische Matrizen gilt, wusste ich; aber dass sogar die Verknüpfung mit den Eigenwerten Symmetrie voraussetzt, war mir neu - wieder was gelernt.

Könnte es evtl. der Weg für diese Aufgabe sein, das 'einfach' mit Hilfe der Definition nachzurechnen? Dürfte ein ziemliches Gewusel geben, aber man könnte durch sinnvolle Einsetzungen für x (zuerst Einheitsvektoren, dann e_1+e_2, ...) schon mal ein paar nette konkrete Bedingungen bekommen.

02.11.2017, 20:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von sibelius84
Dass das Hurwitz-Kriterium im Reellen nur für symmetrische Matrizen gilt, wusste ich; aber dass sogar die Verknüpfung mit den Eigenwerten Symmetrie voraussetzt, war mir neu

Du kannst problemlos eine nach deiner allgemeineren Definition positiv semidefinite Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ angeben, die nicht mal reelle Eigenwerte hat:

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Die hat die Eigenwerte $\begin{align*} \pm i \end{align*}$ , es ist aber offenkundig $\begin{align*} x^TAx=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ . Augenzwinkern

02.11.2017, 20:27

sibelius84

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Stimmt, weil Ax der im Vergleich zu x um 90° gedrehte Vektor ist, damit stehen x und Ax orthogonal. Da spielen die Eigenwerte dann verrückt Augenzwinkern

Ich sehe, dass das merkwürdig ist; denn damit wäre das Quadrat einer positiv semidefiniten Matrix plötzlich negativ definit. Immerhin ist aber ja deine Matrix, so wie jede schiefsymmetrische Matrix, auch negativ semidefinit, insofern also nicht soo schlimm. Insofern dürfte die Definition über den Symmetrieanteil auch mit "meiner" äquivalent sein.

03.11.2017, 01:17

MatheErsti123

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Vielen Dank für eure zahlreichen Antworten. Es tut mir Leid, dass ich mit meiner Beispielmatrix so viel Verwirrung gestiftet habe. Die Matrizen, die bei meinem Problem auftreten sind stets symmetrisch, also gibt es diesbezüglich keine Probleme.

Insbesondere die Gerschgorin-Kreise scheinen mir sehr nützlich. Die einzige Frage die sich mir da noch stellt, wie grob diese Abschätzung werden kann, also wieviele Matrizen wohl Kreise haben werden, bei denen negative Eigenwerte nicht auszuschließen sind, obwohl eigentlich alle positiv sind. Da muss ich mich wohl mal noch ein Bisschen schlau machen. Vielen Dank auf jeden Fall.

Gruß MatheErsti

03.11.2017, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheErsti123
Die einzige Frage die sich mir da noch stellt, wie grob diese Abschätzung werden kann, also wieviele Matrizen wohl Kreise haben werden, bei denen negative Eigenwerte nicht auszuschließen sind, obwohl eigentlich alle positiv sind.

Ziemlich grob, fürchte ich. Das ist keine feine Pinzette, sondern ein grober Holzhammer - speziell geeignet für Matrizen mit dominanter Hauptdiagonale und außerhalb der Diagonale mit vergleichsweise kleinen Elementen. Aber für deine Frage oben, wo man die freie Wahl für a,b,c,d hatte, bestens geeignet. Wenn es stattdessen darum geht, alle Tupel (a,b,c,d) mit positiv definiter Matrix zu identifizieren, dafür sind die Gerschgorin-Kreis ungeeignet.

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