Teileranzahl

01.11.2017, 23:28

Thomas7

Teileranzahl

Hallo miteinander

Wie kriege ich heraus, welches die höchste Zweierpotenz ist, welche Teiler von 100^100 ist?

Danke für die Starthilfe! smile

01.11.2017, 23:31

sibelius84

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Ich würde die Basis 100 in ihre Primfaktoren p_1, ..., p_n zerlegen:

100^100 = (p_1...p_n)^100 = ...

Damit müsstest du's relativ leicht rauskriegen.

Grüße
sibelius84

01.11.2017, 23:37

Thomas7

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Also:
100 = 2 * 2 * 5 * 5.

Heisst das also, dass 2 die höchste Zweierpotenz ist, welche Teiler von 100^100 ist?

01.11.2017, 23:41

sibelius84

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Ok, jetzt hast du die Basis 100 in Primfaktoren zerlegt. Also

100^100 = (2·2·5·5)^100.

Wie viele Zweierpotenzen gibt das?

01.11.2017, 23:45

Thomas7

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Ah, 2^2, oder?

01.11.2017, 23:47

sibelius84

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2^2 ist die höchste Zweierpotenz, die die Basis 100 teilt. 2^2 ist aber nicht die höchste Zweierpotenz, die 100^100 teilt. Dafür müsstest du den Exponenten 100 noch dazuholen. Also, wie geschrieben

(2·2·5·5)^100

Wenn du hier die Klammer auflöst und zu Ende vereinfachst - welcher Exponent steht dann an der 2?

01.11.2017, 23:56

Thomas7

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Am Schluss hat man
(2^2 * 5^2) ^100

-->2^200 * 5^200

Also ist 2^200 die grösste Zweierpotenz.

02.11.2017, 00:35

Thomas7

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(oder ?)

Dann gabs noch die Frage der Anzahl Teiler von 100^100:
100^100 hat dann 2^100 Teiler, oder?

02.11.2017, 08:21

klarsoweit

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Nein. Denk nochmal drüber nach. Wie viel Teiler hat denn die 100?

02.11.2017, 08:34

Thomas7

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Also nochmals zu 1.)
2^200 die grösste Zweierpotenz.
Das stimmt, oder?

2.)
100 hat 4 Teiler (2, 2, 5, 5).
--> Also hat 100^100 genau 4^4 Teiler.
Korrekt ?

02.11.2017, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Thomas7
2^200 die grösste Zweierpotenz.
Das stimmt, oder?

Ja.

Zitat:

Original von Thomas7
--> Also hat 100^100 genau 4^4 Teiler.

Wie du auf die 4^4 kommst, mußt du mal erklären. Zähle mal die Teiler in 100².

02.11.2017, 08:46

Thomas7

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Von 100^2 sind es 25 Teiler: (4 + 1)^2
[Ich habe die 1 vergessen...]

Entsprechend für 100^100: (4+1)^100 Teiler.
Korrekt?

02.11.2017, 09:01

Leopold

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Jeder Teiler $\begin{align*} m \end{align*}$ einer natürlichen Zahl $\begin{align*} n \geq 2 \end{align*}$ , die in ihrer Primfaktorzerlegung vorliegt:

$\begin{align*} n = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \cdots {p_r}^{\alpha_r} \end{align*}$
(mit paarweise verschiedenen Primzahlen $\begin{align*} p_1,p_2,\ldots,p_r \end{align*}$ und Exponenten $\begin{align*} \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r \geq 1 \end{align*}$ )

ist wieder von dieser Gestalt:

$\begin{align*} m = {p_1}^{\beta_1} {p_2}^{\beta_2} \cdots {p_r}^{\beta_r} \ \ \text{mit} \ \ 0 \leq \beta_j \leq \alpha_j \ \ (1 \leq j \leq r) \end{align*}$

Die Anzahl der Teiler zu bestimmen, ist damit ein kombinatorisches Problem. Wie viele Möglichkeiten gibt es für das jeweilige $\begin{align*} \beta_j \end{align*}$ ? Und wie viele Möglichkeiten dann insgesamt?

Beispiel

$\begin{align*} n = 45 = 3^2 \cdot 5 \end{align*}$

Hier ist $\begin{align*} r=2, \, p_1 = 3, \, \alpha_1 = 2, \, p_2 = 5, \, \alpha_2 = 1 \end{align*}$

Die Teiler sind

$\begin{align*} 1 = 3^0 \cdot 5^0 \end{align*}$
$\begin{align*} 5 = 3^0 \cdot 5^1 \end{align*}$
$\begin{align*} 3 = 3^1 \cdot 5^0 \end{align*}$
$\begin{align*} 15 = 3^1 \cdot 5^1 \end{align*}$
$\begin{align*} 9 = 3^2 \cdot 5^0 \end{align*}$
$\begin{align*} 45 = 3^2 \cdot 5^1 \end{align*}$

Warum sind es gerade 6 Teiler?

02.11.2017, 09:53

klarsoweit

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RE: Zweierpotenz

Zitat:

Original von Thomas7
Wie kriege ich heraus, welches die höchste Zweierpotenz ist, welche Teiler von 100^100 ist?

Könntest du mal hierzu den kompletten Aufgabentext im originalen Wortlaut posten?

05.11.2017, 16:53

Thomas7

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RE: Zweierpotenz
Ich hoffe, euch nicht zu sehr zu enttäuschen.

Die vollständige Aufgabe lautet wie folgt:
" Es sei x = 100^100. Wie viele Teiler hat x? "

Vielleicht lohnt es sich noch zu sagen, dass wir momentan beim Thema Algebra sind. Wir haben Potenzen, Potenzgesetze usw. angeschaut.

05.11.2017, 17:04

Leopold

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Wenn du dir meinen Beitrag noch einmal durchliest, solltest du deine Frage beantworten können. Du mußt nur erkennen, wie man aus der Primfaktorzerlegung einer Zahl die Anzahl ihrer Teiler ermitteln kann. Und um dir einen Wink mit dem Zaunpfahl zu geben, sage ich dir noch: Es kommt nicht auf die Primzahlen an sich an. Zum Beispiel hat die Zahl 28 ebenso wie die Zahl 45 genau 6 Teiler. Und woran liegt das?

08.11.2017, 23:17

Thomas7

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Hey Leopold smile

Danke für deine Mühe!
Leider hat der Wink mit dem Zaunpfahl noch nicht geholfen...also die Anzahl Teiler hat sicher mit dem Exponenten zu tun. Nicht vergessen darf man die 1 und die Zahl selber.
Aber eben...die Systematik dahinter habe ich immer noch nicht entdeckt :/

Könntest du mir auf die Sprünge helfen?

11.11.2017, 21:04

mYthos

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Im Beispiel für 45 bei Leopold:

Bei den $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ gibt es 3 Möglichkeiten (0, 1, 2) bei r = 1 und 2 (0, 1) bei r = 2, macht 2*3 = 6 insgesamt.
Wir sehen also, dass die Exponentenzahl der einzelnen Primfaktoren in der Primfaktorenzerlegung jeweils um 1 zu erhöhen ist und diese im Gesamten dann zu multiplizieren sind.

Also schließe allgemein:
Jeder in der Primfaktorenzerlegung vorkommender Primfaktor $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ hat auch einen Exponenten $\begin{eqnarray*} e_n \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
So ist

$\begin{eqnarray*} 45 = 3^2 \cdot 5^1 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} p_1 = 3, \ p_2 = 5, \ e_1 = 2, \ e_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Die Teileranzahl ergibt sich dann als $\begin{eqnarray*} (e_1 + 1)(e_2+1) \end{eqnarray*}$ , allgemein bei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Primfaktoren $\begin{eqnarray*} p_r: \ (e_1 + 1)(e_2+1) ... (e_r+1) \end{eqnarray*}$

Das kriegst du zwar bei Recherchen auch irgendwann zu Gesicht, aber es ist interessant und sollte auch eingängig sein, wie man darauf kommt, wie es Leopold beschrieben hat.
-------------

So. Nun, wieviele Teiler hat 100? (NICHT 4)

Und, kannst du nun mit Hilfe der Potenzregeln herausfinden, wieviele Teiler $\begin{eqnarray*} 100^{100} \end{eqnarray*}$ hat?
[Hinweis: Es sind um die 40000, die Anzahl der Teiler von 100 wird dazu nicht verwendet]

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Noch zu etwas anderem: Es ist zu beobachten, dass du nach erhaltener Hilfe kaum noch ein Feedback gibst.
Das ist nicht nett, um nicht zu sagen, unhöflich.
Sollte sich das nicht ändern, ist die Motivation, sich mit deinen Anliegen zu befassen, auf Sinkflug.

mY+

12.11.2017, 11:58

Thomas7

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Leopold, mYthos: Vielen Dank für das schöne Heranführen an diese Gesetzmässigkeit!
Die ist ja wunderschön - und ich kannte sie vorher wirklich nicht.

Wisst ihr, wie man darauf gestossen ist? Also ähnlich wie ihr mich hier angeleitet habt, mit relativ "übersichtlichen" Beispielen?

Wunderschön, vielen Dank! smile

12.11.2017, 14:26

mYthos

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Das freut uns!
Danke für dein Feedback Augenzwinkern

mY+

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