sigma algebra letzte eigenschaft

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bernd33 Auf diesen Beitrag antworten »
sigma algebra letzte eigenschaft
Meine Frage:
HI,

bei der letzten eigenschaft von einer sigma algebra frage ich mich, ob es bedeutet, dass einfach alle Mengen von dem Mengensystem vereinigt werden und drin liegen müssen oder jede Kombination von Vereinigung, wisst ihr was ich meine?

Meine Ideen:
-
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi bernd33,

naja, es bedeutet halt, dass die Sigma-Algebra abgeschlossen gegenüber abzählbaren Vereinigungen ist. Eine Menge ist ja sowas wie ein Eimer, mit irgendetwas drin. Stell dir vor, du hast nun durchnummerierte Eimer vor dir stehen, 1, 2, 3, ... mit ganz unterschiedlichen Sachen drin. Jetzt holst du einen leeren Eimer aus dem Schrank und kippst alle Sachen aus den Eimern 1, 2, 3, ... da rein. (Die alten Eimer schmeißt du weg.)
Das, was du jetzt vor dir stehen hast, ist wieder ein Eimer aus der Sigma-Algebra.

(Theoretisch weitergesponnen, könnte der also auch bei der nächsten "Eimer-Aktion" mitmachen: Du nennst ihn Eimer 1 und holst dir weitere Eimer 2, 3, ... aus der Sigma-Algebra. Wieder schüttest du alles zusammen. Das, was rauskommt, muss wieder ein Element der Sigma-Algebra sein.)

LG
sibelius84
bernd33 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay, aber ist dann für meine grundmenge M=(1,2,3,4)

ist das dann eine mögliche sigma Algebra: (M,leere menge, (2) ,(4), (1,3,4),(1,2,3),(2,4),(1,3)) oder das ganze ohne die (2,4),(1,3) weil beides kann es glaube ich nicht sein, weil dann käme ich auf mehr als 15 mögliche sigma algebren und es gibt wohl nur 15, verstehst du mein Problem? Ich weiss jetzt nicht ob ich noch sagen muss ok von den Mengen (2),(4) muss ja nach der Eigenschaft die Vereinigung auch noch drin sein also (2,4) und dann davon wieder das Komplement oder ob gemeint ist, dass einfach alle Mengen dadrin vereint wieder drin ist. verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bernd33
Hmm okay, aber ist dann für meine grundmenge M=(1,2,3,4)

ist das dann eine mögliche sigma Algebra: (M,leere menge, (2) ,(4), (1,3,4),(1,2,3),(2,4),(1,3)) oder das ganze ohne die (2,4),(1,3) weil beides kann es glaube ich nicht sein, weil dann käme ich auf mehr als 15 mögliche sigma algebren und es gibt wohl nur 15, verstehst du mein Problem? Ich weiss jetzt nicht ob ich noch sagen muss ok von den Mengen (2),(4) muss ja nach der Eigenschaft die Vereinigung auch noch drin sein also (2,4) und dann davon wieder das Komplement


Ja! Musst du.

Zitat:

...oder ob gemeint ist, dass einfach alle Mengen dadrin vereint wieder drin ist. verwirrt


Ich verstehe nicht, was du uns mit diesem Satz sagen willst. Du meinst, wenn man M, leere Menge, ... usw. vereinigt, dass das, was rauskommt, dann wieder drin ist? Das wäre eine sehr triviale Eigenschaft.
bernd33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also muss die Vereinigung aller Paare auch wieder ein Element sein? Weil es in der Definition mir so den Anschein macht, als würde man eine Vereinigung über alle Elemente machen, das ist ja was anderes.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bernd33
ist das dann eine mögliche sigma Algebra: (M,leere menge, (2) ,(4), (1,3,4),(1,2,3),(2,4),(1,3))

Sauber geschrieben: .

Ja, das ist eine korrekte Sigma-Algebra. Eine mögliche Kontrolle: Die Elementanzahl einer endlichen Sigma-Algebra ist immer (!) eine Zweierpotenz , in deinem Fall hier . In einer solchen endlichen Sigma-Algebra kann man atomare (im Sinne: innerhalb der Sigma-Algebra unteilbare) nichtleere Grundmengen identifizieren, die paarweise disjunkt sind und in ihrer Vereinigung die Grundmenge bilden.

In deinem Fall sind das die Mengen , und
 
 
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