Pyramidenstumpf Formel Volumen vereinfachen

04.11.2017, 10:39	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenstumpf Formel Volumen vereinfachen Warum lautet die Formel für das Pyramidenstumpfvolumen : $\begin{eqnarray} V= \frac{1}{3} hk (G1+\sqrt{G1G2} +G2) \end{eqnarray}$ Heben sich die Wurzel und die Quadrate nicht auf ? ALso G1 und G2 sind Flächen dann wird wieder die Wurzel gezogen. $\begin{eqnarray} x^2{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ dann kürzt sich doch alles weg und ich habe hoch 1
04.11.2017, 10:46	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Spender, 1.: dein Bedenken ist formal zulässig, aber inhaltlich unbegründet sagen wir mal, wir hätten G1 = 4m², und G2=100m². Dann wäre $\begin{eqnarray} \sqrt{G_1G_2} = \sqrt{400m^4} = \sqrt{400}\sqrt{m^4} = 20m^2 \end{eqnarray}$ . Also kommt die richtige Einheit raus. Generell, wenn a, b positive Variablen in der selben Einheit sind, dann ist das sog. geometrische Mittel $\begin{eqnarray} \sqrt{ab} \end{eqnarray}$ wieder in der selben Einheit. 2.: Um die Formel zu verstehen, musst du dir vorstellen, dass die Pyramide "bis oben hin zu" wäre. Dann ist das Volumen des Pyramidenstumpfes = Volumen große Pyramide - Volumen kleine Pyramide. Die fehlenden Seitenverhältnisse bekommst du mit dem Strahlensatz, wobei der Ansatz für schulmathematische Verhältnisse nicht ganz unkompliziert ist (aber schaffbar). LG sibelius84
04.11.2017, 10:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Spender Du drückst dich ziemlich nebulös aus. Zunächst mal dies: Sprichst du von quadratischen Pyramiden? Der Pyramiden-Begriff ist ohne diese Spezialisierung weitaus allgemeiner - und die von dir genannte Formel gilt auch für diese allgemeinen Pyramiden!!!
05.11.2017, 11:19	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir die quadratische Pyramide.
15.11.2017, 18:32	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichts desto trotz, heben sich doch mathematisch die Wurzel und die Flächen unter der Wurzel auf. Wenn ich bei deinem Beispiel bleibe. G1= 4m² G2=100m² Also ist von G1 eine Seite 2m und von G2 10m 2*10 = 20m² Wofür dann die komplizierte Schreibweise? Es dankt der Spender
16.11.2017, 02:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramidenstumpf Formel Volumen vereinfachen Da ist gar nichts kompliziert. Du hast die Aussage dieser Formel offenbar noch immer nicht ganz verstanden. Diese gilt - wie schon darauf hingewiesen - für allgemeine Pyramiden(stümpfe); im Übrigen auch für den Kegelstumpf. Dort kann man dann nicht einfach die Wurzel ziehen, weil es ja keine definierte Seite gibt. ------- Wenn du - ausschließlich! - quadratische Pyramiden behandeln willst, kannst du die genannte allgemeine Formel darauf "spezialisieren": $\begin{eqnarray} G_1 = a_1^2; \ G_2 = a_2^2 \end{eqnarray}$ Erst dann hast du eine spezielle Formel für den quadratischen (!) Pyramidenstumpf "geworfen": $\begin{eqnarray} V_{PSt}= \frac{1}{3} h (a_1^2 + a_1a_2 + a_2^2) \end{eqnarray}$ Und analog für den Kegelstumpf: $\begin{eqnarray} V_{KSt}= \pi \frac{h}{3} (r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) \end{eqnarray}$ mY+
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16.11.2017, 08:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung dieses Problems geht meiner Ansicht nach am einfachsten über eine Streckung. Gehen wir aus von einer Pyramide mit $\begin{align} h_1,G_1,V_1 \end{align}$ als Höhe, Grundfläche und Volumen. Parallel zur Grundfläche wird die Pyramide durchgeschnitten. Der Teil mit der Spitze ist wieder eine Pyramide, sagen wir mit den Größen $\begin{align} h_2,G_2,V_2 \end{align}$ , die zur ersten Pyramide ähnlich ist. Es gibt daher einen Streckfaktor $\begin{align} \lambda \end{align}$ mit $\begin{align} 0 < \lambda < 1 \end{align}$ , so daß gilt: $\begin{align} h_2 = \lambda h_1 \, , \ \ G_2 = \lambda^2 G_1 \, , \ \ V_2 = \lambda^3 V_1 \end{align}$ Es sei $\begin{align} V \end{align}$ das Volumen des Pyramidenstumpfes, $\begin{align} h \end{align}$ seine Höhe. Dann gilt: $\begin{align} \text{(1)} \ \ V = V_1 - V_2 = V_1 - \lambda^3 V_1 = \left( 1 - \lambda^3 \right) V_1 = \left( 1 - \lambda \right) \left( 1 + \lambda + \lambda^2 \right) V_1 = \left( 1 - \lambda \right) \left( 1 + \lambda + \lambda^2 \right) \cdot \frac{1}{3} G_1 h_1 \end{align}$ Die Faktorisierung $\begin{align} 1 - \lambda^3 = \left( 1 - \lambda \right) \left( 1 + \lambda + \lambda^2 \right) \end{align}$ ist der Trick der ganzen Angelegenheit. Jetzt muß man nur noch alles richtig kombinieren. Wir ziehen $\begin{align} h_1 \end{align}$ zum linearen Faktor und $\begin{align} G_1 \end{align}$ zum quadratischen. $\begin{align} \text{(2)} \ \ \left( 1 - \lambda \right) h_1 = h_1 - \lambda h_1 = h_1 - h_2 = h \end{align}$ $\begin{align} \text{(3)} \ \ \left( 1 + \lambda + \lambda^2 \right) G_1 = G_1 + \underbrace{\lambda G_1}_{\sqrt{\frac{G_2}{G_1}} G_1 } + \underbrace{\lambda^2 G_1}_{G_2} \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \end{align}$ und $\begin{align} \text{(3)} \end{align}$ werden nun in $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ eingesetzt: $\begin{align} V = \frac{1}{3} \left( G_1 + \sqrt{G_1 G_2} + G_2 \right) h \end{align}$ Der Beweis gilt wortwörtlich auch für Kegel, und zwar beliebiger Grundfläche. Entscheidend ist nur, daß beim Parallelschnitt zur Grundfläche der kleinere Teilkegel zum gesamten Kegel ähnlich ist.

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