partielle Summation

04.11.2017, 11:06

FelNa1109

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partielle Summation

Hallo, ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe:
Bestimmen Sie durch partielle Summation

$\begin{eqnarray*} \sum (-1)^x \begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix} H_{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \Delta v = (-1)^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u= \begin{pmatrix} m\\ x \end{pmatrix} H_{x} \end{eqnarray*}$ wähle, komme ich auf folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sum (-1)^x \begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix} H_{x} = \begin{pmatrix} m\\ x \end{pmatrix} H_{x} \frac{(-1)^x}{-2} - \sum\ [H_{x+1} \begin{pmatrix} m \\ x+1 \end{pmatrix} - H_{x} \begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix}] \frac{(-1)^x (-1)}{-2} \end{eqnarray*}$

... Irgendwie gefällt mir das alles aber nicht wirklich... Hat evtl. irgend jemand einen Tipp wie ich die Aufgabe lösen kann? Danke

04.11.2017, 11:19

sibelius84

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Die Ableitung von H_x ist ja 1/x (H_x ist also das diskrete Analogon zum natürlichen Logarithmus). Bei der partiellen Integration bzw. partiellen Summation nimmt man als u (also als nicht abgeleitete Funktion) möglichst immer die, die beim Ableiten einfacher wird.

Versuch doch mal u = H_x und delta_v = Rest.

04.11.2017, 11:37

FelNa1109

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Ok, wenn ich jetzt habe das $\begin{eqnarray*} \Delta v = (-1)^x \begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist und weiß, dass $\begin{eqnarray*} \Delta v = v` \Leftrightarrow v = \sum v` \end{eqnarray*}$ ist, dann müsste doch gelten:

$\begin{eqnarray*} v= \sum \begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix} (-1)^x 1^{m-x} \end{eqnarray*}$ gelten oder? Das ist doch dann der binomische Lehrsatz $\begin{eqnarray*} (1+(-1))^m \end{eqnarray*}$

04.11.2017, 12:17

sibelius84

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Wow, cool, dass das so gut geht Tanzen

Tanzen

Hätte ich gar nicht gedacht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hört sich sehr gut an, ja! Du musst nur gut auf die Summenindices achten. Das mit dem binomischen Lehrsatz ist dann richtig, wenn die Summe bei x=0 beginnt und bei x=m endet. (Ich sage das nur, weil du jetzt überall allgemeine Summenzeichen da stehen hast. Ihr habt für eine Summenfunktion $\begin{eqnarray*} \sum g(n) \end{eqnarray*}$ sicher Konventionen aus der Vorlesung, von wo bis wo dann summiert wird.)

04.11.2017, 12:36

FelNa1109

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Das mit den Summenindizes hat mich auch gewundert, aber es stehen wirklich nie welche da unglücklich

unglücklich

Naja, es gehe die Summe also von x=0 bis x=m, so haben wir:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{x=0}^{m} (-1)^x\begin{pmatrix} m \\ x \end{pmatrix}H_{x} = H_{x} (1+(-1))^m - \sum\limits_{x=0}^{m} [\frac{1}{x} \sum\limits_{x+1=0}^{m} \begin{pmatrix} m \\ x+1 \end{pmatrix} (-1)^{x+1}] \end{eqnarray*}$

Also kurz: das ganze Ding ist Null?

04.11.2017, 13:06

HAL 9000

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Irgendwas ist da schiefgegangen: Zwei ineinander geschachtelte Summen mit demselben (?!) Summationsindex $\begin{align*} x \end{align*}$ , das kann nicht gutgehen...

Schreib doch mal von Anfang an auf, mit welcher Summationsformel du überhaupt arbeitest - und zwar exakt, d.h., mit richtigen Anfangs- und Endindizes in allen beteiligten Summen, und auch allen beteiligten Folgen, also ähnlich wie hier. Da nämlich scheint das Problem bei dir zu liegen, diese Unachtsamkeiten versaubeuteln die ganze Rechnung.

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04.11.2017, 13:15

FelNa1109

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Meinst du meine Formel für partielle Summation? Das wäre dann diese hier:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a}^{b+1} u \Delta v = uv - \sum\limits_{a}^{b+1} \Delta u (Ev) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} uv \end{eqnarray*}$ in den Grenzen b+1 und a und $\begin{eqnarray*} (Ev) = v(x+1) \end{eqnarray*}$ ist.

04.11.2017, 13:21

HAL 9000

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Nein, das ist genau die ungenaue Form, die ich angeprangert habe: Exakte Indizierung der $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ , und wie genau $\begin{align*} \Delta u \end{align*}$ und $\begin{align*} \Delta v \end{align*}$ (dann auch mit Indizes) daraus hervorgehen:

Es macht schon einen Unterschied, ob man $\begin{align*} \Delta u_k := u_{k+1}-u_k \end{align*}$ oder vielleicht $\begin{align*} \Delta u_k := u_k-u_{k-1} \end{align*}$ meint usw. Mit

Zitat:

Original von FelNa1109
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a}^{b+1} u \Delta v = uv - \sum\limits_{a}^{b+1} \Delta u (Ev) \end{eqnarray*}$

kann man nicht exakt arbeiten. unglücklich

unglücklich

P.S.: Ein Alternativweg zu partiellen Summen: Man definiere

$\begin{align*} g_k(t) = \sum_{j=1}^k \frac{t^j}{j} \end{align*}$ ,

diese Funktion hat dann die Ableitung $\begin{align*} g_k'(t) = \sum_{j=1}^k t^{j-1} = \frac{1-t^k}{1-t} \end{align*}$ . Weiter definiert man

$\begin{align*} f_m(t) := \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} g_k(t) \end{align*}$ ,

dann ist $\begin{align*} f_m(1) = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} H_k \end{align*}$ unsere gesuchte Größe. Für $\begin{align*} m\geq 1 \end{align*}$ haben wir

$\begin{align*} f_m'(t) = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} g_k'(t) = \frac{1}{1-t} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \left(1-t^k\right) = \frac{1}{1-t} \left((1-1)^m-(1-t)^m\right) = -(1-t)^{m-1} \end{align*}$ ,

und eine nachfolgende Integration ergibt

$\begin{align*} f_m(1) = f_m(0) + \int\limits_0^1 f_m'(t) ~ \dd t = 0 - \int\limits_0^1 (1-t)^{m-1} ~ \dd t = -\frac{1}{m} \end{align*}$ .

04.11.2017, 13:30

FelNa1109

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Ich meine die ganze Zeit den Vorwärtsdifferenzenoperator $\begin{eqnarray*} \Delta u = u_{k+1} - u_{k} \end{eqnarray*}$ Sry, dachte das ist klar, weil wir den Rückwärtsdifferenzenoperator immer mit $\begin{eqnarray*} \nabla u \end{eqnarray*}$ bezeichnet haben.

04.11.2017, 13:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von FelNa1109
Sry, dachte das ist klar, weil wir den Rückwärtsdifferenzenoperator immer mit $\begin{eqnarray*} \nabla u \end{eqnarray*}$ bezeichnet haben.

Du kannst nicht davon ausgehen, dass wir komplett im Bilde sind über euer Bezeichnungsuniversum. unglücklich

unglücklich

04.11.2017, 13:53

FelNa1109

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Darum auch das "Sry". Aber nun ja, zurück an die Arbeit! Das muss ja irgendwie mit dem Binom. Lehrsatz zu machen sein... Das der erste Term 0 wird sieht ja schon ganz gut aus, aber wie bekomme ich das mit den ineinander geschachtelten Summen hin? Das Problem ist ja $\begin{eqnarray*} (Ev):=v(x+1) \end{eqnarray*}$

04.11.2017, 13:59

HAL 9000

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Da du dich standhaft weigerst, die Formel in dem von mir geforderten Sinne aufzuschreiben, übernehme ich das jetzt: Eure ganzen Sonderbezeichnungen integriert ergibt sich das allgemeinverständliche

$\begin{align*} \sum_{k=a}^{b-1} u_k (v_{k+1}-v_k) = u_bv_b - u_av_a - \sum_{k=a}^{b-1} (u_{k+1}-u_k)v_{k+1} \end{align*}$ .

Mit $\begin{align*} a=0,b=m+1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} u_k=H_k \end{align*}$ folgt dann

$\begin{align*} \sum_{k=0}^m H_k (v_{k+1}-v_k) = H_{m+1}v_{m+1} - \sum_{k=0}^m \frac{1}{k+1} v_{k+1} \end{align*}$ .

Weiter ergibt sich mit $\begin{align*} v_{k+1}-v_k = (-1)^k \binom{m}{k} \end{align*}$ die Formel $\begin{align*} v_{k+1} = \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{m}{j} \end{align*}$ , was dann eingesetzt

$\begin{align*} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} H_k = H_{m+1}(1+(-1))^m - \sum_{k=0}^m \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{m}{j} \end{align*}$

ergibt - können wir uns erstmal darauf einigen? Aber da ist immer noch einiges zu tun bis zum Ziel. verwirrt

verwirrt

EDIT: Ok, ich sehe es jetzt. Man kann

$\begin{align*} v_{k+1}-v_k = (-1)^k \binom{m}{k} = (-1)^k \left( \binom{m-1}{k} + \binom{m-1}{k-1} \right) = (-1)^k \binom{m-1}{k} - (-1)^{k-1} \binom{m-1}{k-1} \end{align*}$

durch Wahl von $\begin{align*} v_k := (-1)^{k-1} \binom{m-1}{k-1} \end{align*}$ und folglich dann $\begin{align*} v_{k+1} = (-1)^k \binom{m-1}{k} \end{align*}$ erreichen. Damit läuft die Sache dann einigermaßen rund durch. smile

smile

04.11.2017, 14:31

FelNa1109

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Yup, da können wir uns drauf einigen.

04.11.2017, 14:45

HAL 9000

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Na dann ist der Ball jetzt in deinem Spielfeld.

04.11.2017, 15:21

FelNa1109

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Bist du sicher das, das klappt? Habs jetzt probiert mit dem $\begin{eqnarray*} v_{k+1} \end{eqnarray*}$ aber komme irgendwie trotzdem nicht zum Ziel unglücklich

unglücklich

04.11.2017, 15:23

HAL 9000

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Ja, ich bin mir sicher.

04.11.2017, 15:32

FelNa1109

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Hm, dann mach ich irgendwas falsch. An für sich hab ich die Ausgangsgleichung genommen, und halt das $\begin{eqnarray*} v_{k+1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{m} (-1)^k\begin{pmatrix} m\\ k \end{pmatrix}H_k= H_{m+1}(1+(-1))^m - \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{k+1}(-1)^k\begin{pmatrix} m-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe einfach nicht, wie mir das bei der rechten Summe weiterhilft...

04.11.2017, 15:35

HAL 9000

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Na zunächst mal ist $\begin{align*} (1+(-1))^m=0 \end{align*}$ für $\begin{align*} m\geq 1 \end{align*}$ , damit entfällt dieser Term.

Und in der Summe hilft $\begin{align*} \frac{1}{k+1}\binom{m-1}{k} = \frac{1}{m}\binom{m}{k+1} \end{align*}$ .

04.11.2017, 15:53

FelNa1109

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \sum\limits_{k=0}^{m} (-1)^k\begin{pmatrix} m \\ k+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{m}[ \begin{pmatrix} m \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m \\ 2\end{pmatrix} \pm ... \pm \begin{pmatrix} m \\ m-1\end{pmatrix} \mp \begin{pmatrix} m \\ m\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} m \\ m+1\end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ m \end{pmatrix} = 1, \begin{pmatrix} m \\ m+1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ und die anderen Binomialkoeffizienten kürzen sich raus so, dass nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ übrig bleibt?

04.11.2017, 16:05

HAL 9000

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Ich hatte an eine Begründung mit dem Binomischen Satz gedacht, d.h., wie oben wieder über $\begin{align*} (1+(-1))^m \end{align*}$ , aber das Fazit

Zitat:

Original von FelNa1109
so, dass nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ übrig bleibt?

ist richtig.

04.11.2017, 16:08

FelNa1109

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Ok, danke. Ja das wird wenn ich jetzt alles nochmal sauber ordne und aufschreibe sowieso noch an den Ecken und Kanten begründet.

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