DGL lösen

04.11.2017, 11:52

Sito

DGL lösen

Guten Tag zusammen,

zu zeigen ist, dass $\begin{align*} J_{\alpha}:=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j}{j!\Gamma{(j+\alpha+1)}} \left(\frac{z}{ 2}\right)^{\alpha+2j} \end{align*}$ die Bessel-Differentialgleichung erfüllt, für $\begin{align*} \alpha\neq -1-2,\dots \end{align*}$ .

Idee: $\begin{align*} \Gamma(\alpha+j+1)=(j+\alpha)! \end{align*}$ . Berechne nun die zwei Ableitungen:
$\begin{align*} \frac{\dd }{\dd z}J_{\alpha}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j2^{-\alpha-2j}}{j!(j+\alpha)!}z^{\alpha+2j-1}(\alpha+2j) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{\dd^2 }{\dd z^2}J_{\alpha}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j2^{-\alpha-2j}}{j!(j+\alpha)!}z^{\alpha+2j-2}(\alpha+2j-1) \end{align*}$

Wenn ich das nun in die DGL einsetze erhalte ich:
$\begin{align*} \sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j}{j!(j+\alpha)!} \left(\frac{z}{ 2}\right)^{\alpha+2j}[(\alpha+2j-1)+(\alpha+2j)+(z^2-\alpha^2)]\overset{!}{=}0 \end{align*}$ . Und hier komme ich nicht mehr wirklich weiter... War das der falsche Ansatz um die Aufgabe zu lösen, oder habe ich einen Fehler gemacht?

Gruss Sito

04.11.2017, 12:01

sibelius84

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Hallo sito,

zunächst mal würde ich, wenn du so eine (verallgemeinerte) Potenzreihe differenzierst, immer auch zumindest alibi-mäßig ein paar Worte zu Konvergenzfragen verlieren. Weißt du, welche Art von Konvergenz gegen die Grenzfunktion / Summenfunktion vorliegen muss, damit du so eine Reihe gliedweise differenzieren darfst?

Dein Vorgehen sieht mir dann soweit im Grunde schon ok aus. Deine Gleichung hinter "Idee:" mit dem Gamma ist im Prinzip nur eine Möglichkeit der Definition, der Verallgemeinerung der Fakultät (denn alpha darf ja jede beliebige reelle Zahl sein außer -1, -2, ...). Evtl. hilft eher weiter

$\begin{eqnarray*} \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=\alpha +j \end{eqnarray*}$ .

Indexverschiebungen usw. hast du gemacht? Ich denke, dass es auf jeden Fall irgendwie am Rechnen liegt.

Grüße
sibelius84

04.11.2017, 16:41

Sito

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Zitat:

Weißt du, welche Art von Konvergenz gegen die Grenzfunktion / Summenfunktion vorliegen muss, damit du so eine Reihe gliedweise differenzieren darfst?

Um ehrlich zu sein bin ich mir nicht sicher, aber ich glaube es was absolute (oder zumindest glm.) Konvergenz.

Zitat:

Indexverschiebungen usw. hast du gemacht? Ich denke, dass es auf jeden Fall irgendwie am Rechnen liegt.

Jop, habe ich auch versucht... Auch mit der Gammafunktion habe ich noch etwas rumgespielt, bin aber nicht wirklich weiter gekommen...

04.11.2017, 19:47

sibelius84

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Gleichmäßige Konvergenz ist es smile

Puh, ganz schön fiese Rechnerei. Mögliche Fehlerquellen, worauf du bei einem erneuten Versuch vor allem achten könntest:

-> Summenindices - die Ableitung einer bei 0 beginnenden Potenzreihe beginnt bei n=1, die zweite Ableitung bei n=2, usw.:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^\infty a_kz^k\right) = \sum_{k=\pmb{1}}^\infty ka_kz^{k-1}. \end{eqnarray*}$

-> Die z/2 hast du beim Ableiten relativ elegant beiseite gepackt, so dass du nur noch die Potenz von z hattest. Sehr auf diese z/2 aufpassen muss man aber beim Einsetzen in die DGL, etwa

$\begin{eqnarray*} z^2\cdot\ldots\cdot\left(\frac{z}{2}\right)^k = 4\cdot\left(\frac{z}{2}\right)^2\cdot\ldots\cdot\left(\frac{z}{2}\right)^k = 4\left(\frac{z}{2}\right)^{k+2}. \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, mit der Gammafunktion muss man irgendetwas tun. Durchkommen tue ich da gerade nicht, aber: Versuch vielleicht mal, alpha+2j zu schreiben als (alpha+j)+j und dann Brüche trennen, zwei Summanden draus machen; in dem ersten kannst du unten Gamma(alpha+j+1) entwickeln und alpha+j kürzen, im zweiten kannst du j mit j! im Nenner kürzen, vielleicht bringt das ja was und du siehst dann schon mehr.

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