Konvergenz von Mitteln

05.11.2017, 14:43

lawknm

Konvergenz von Mitteln

Guten Tag,

Wie kann ich eine divergente Folge bilden? Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.

Finden Sie eine divergente Folge $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n\in \mathbb N} \subset \mathbb R_+ \ mit\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} s_k = 0. \end{eqnarray*}$

05.11.2017, 15:02

HAL 9000

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Hinweis: Eine Folge, die alternierend immer zwischen zwei verschiedenen Werten $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ hin- und herwechselt, ist auch divergent.

05.11.2017, 15:58

lawknm

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RE: Konvergenz von Mitteln
So kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n\in\mathbb N} = (-1)^n +2 \end{eqnarray*}$ ?

Können wir dann sowas machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} ((-1)^n +2) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^n + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} 2 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^n + 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^n}{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} (-1)^n \end{eqnarray*}$

und dann habe ich das Problem, das das n von der Summe und den Nenner ausgeglichen werden und ist es nur (-1)^n am Ende mit dem Limit.

05.11.2017, 16:05

HAL 9000

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Upps, ich hab das $\begin{align*} + \end{align*}$ beim $\begin{align*} \mathbb{R}_+ \end{align*}$ übersehen, damit klappt mein Tipp natürlich nicht. unglücklich

Nimm einfach irgendeine Nullfolge, wo an (immer seltener auftretenden Stellen) eine 1 addiert wird, z.B.

$\begin{align*} s_n = \begin{cases} 2^{-n}+1 &\; \mbox{für}\; n=k^2<br /> 2^{-n} &\; \mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ .

05.11.2017, 16:11

lawknm

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Entschuldigung aber ich verstehe Deinen Tipp nicht traurig

05.11.2017, 16:14

HAL 9000

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Dann nochmal in Worten: Du nimmst im Prinzip die Folge $\begin{align*} s_n = 2^{-n} \end{align*}$ , aber wenn Index $\begin{align*} n \end{align*}$ eine Quadratzahl ist (und nur dann), addierst du noch eine $\begin{align*} 1 \end{align*}$ dazu.

05.11.2017, 16:22

lawknm

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Okay das hat mir eigentlich geholfen aber wieso muss man solche eine Folge nehmen? Wieso kann man einfach die Folge $\begin{eqnarray*} s_n = 2^{-n} +1 \end{eqnarray*}$ nicht benutzten ohne wenn $\begin{eqnarray*} n = k^2 \end{eqnarray*}$ ?

So wenn n = 1, 4, 9, 16, 25... uzw. addieren wir 1. Das wird ähnliche zu einem divergenten Oszillator, der immer kleiner wird aber trotzdem divergent, richtig?

05.11.2017, 16:25

HAL 9000

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Dann verrate mir mal, wie du mit deiner Folge das angestrebte $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n s_k = {\color{red}0} \end{align*}$ erreichen willst! Überdies ist dein $\begin{align*} (s_n) \end{align*}$ konvergent, damit verfehlst du sogar beide Bedingungen. unglücklich

05.11.2017, 16:32

lawknm

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Hmm, wie Du gesagt hast, wir nehmen eine Nullfolge. Da $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ divergiert, können wir auch so was benutzen?

Danke im Voraus.

05.11.2017, 16:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von lawknm
Da $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ divergiert

Du sprichst in Rätseln. Die Folge 1/n divergiert nicht, sie ist im Gegenteil eine Nullfolge. unglücklich

05.11.2017, 16:49

lawknm

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ja stimmt. Entschuldigung für die Verwirrung.

So dann wir haben Deine Folge, und dann soll ich das in zwei Summen teilen? Also ein wenn $\begin{eqnarray*} n = k^2 \end{eqnarray*}$ und eine andere wenn $\begin{eqnarray*} n = sonst \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2017, 17:15

HAL 9000

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Ich zeige mal, dass die von mir angegebene Folge die Bedingungen der Aufgabe erfüllt:

a) Die Folge ist offensichtlich positiv.

b) Die Folge ist divergent, da man zwei gegen unterschiedliche Werte konvergierende Teilfolgen angeben kann:

$\begin{align*} \lim_{k\to \infty} s_{k^2} = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{k\to \infty} s_{k^2+1} = 0 \end{align*}$ .

c) Es ist

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n s_k = \left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor + \sum_{k=1}^n 2^{-k} = \left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor + 1-2^{-n} \end{align*}$ ,

damit gilt $\begin{align*} 0 < \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k < \frac{\sqrt{n}+1}{n} \end{align*}$ , gemäß Sandwich muss der Mittelterm für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ gegen Null konvergieren.

05.11.2017, 17:41

lawknm

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Danke für die Erklärung. Kannst Du bitte erklären, wie einen Teil der Summer in der Größte-Ganze-Funktion umgeformt kann? Ansonsten kapiere ich alles.

05.11.2017, 17:51

HAL 9000

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Jedes $\begin{align*} s_k \end{align*}$ , wo $\begin{align*} k \end{align*}$ eine Quadratzahl ist, liefert zusätzlich Beitrag 1 zur Gesamtsumme. Da es von $\begin{align*} 1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} n \end{align*}$ genau $\begin{align*} \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor \end{align*}$ Quadratzahlen gibt, kommt dieser Term dort zustande.

05.11.2017, 18:00

lawknm

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Aha! Sehr tolle Anwendung der G-G-Funktion. Vielen Dank nochmal für die Erklärungen. Ich weiß am Anfang war das ein bisschen umständlich von mir aber manchmal muss ich dumme Fragen stellen, um alles richtig gut nachzuvollziehen. Danke für die Geduld und die Hilfe.

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