Kommutativität und Zykel zeigen

05.11.2017, 20:52	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität und Zykel zeigen Seien G und H Gruppen und $\begin{eqnarray} f:G \rightarrow H \end{eqnarray}$ ein Epimorphismus. Zeigen Sie, dass a) ist G abelsch, dann auch H. b) ist G zyklich, dann auch H. (die Umkehrungen sind falsch! Beispiel?) Also zu b) habe ich mir bis jetzt noch keine Gedanken gemacht, denn ich stehe bereits bei a) auf der Leitung. Ich weiß, dass ein Epimorphismus nichts anderes ist, als ein surjektiver Homomorphismus. Und eine abelsche Gruppe ist eine kommutative Gruppe. Außerdem wissen wir, dass in einem Epimorphismus gilt, dass Imf=H ist. was ist genau zum zeigen? Muss ich zeigen, dass wenn f(ab)=f(ba), dann auch f(a)f(b) = f(b)f(a)? Freue mich über jede Hilfe - danke! LG
05.11.2017, 21:34	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo LuciaSera, nein, das musst du nicht zeigen - sondern das könnte ein Puzzleteil in einem möglichen Beweis sein Du musst zeigen, dass H abelsch ist. Was heißt das genau? Am besten erstmal sauber aufschreiben. Dann könntest du benutzen: Dass f surjektiv ist, bedeutet, dass du für jedes Element h aus H schreiben kannst h=f(g), wobei g ein Element aus G ist. Wenn du jetzt noch so mit der Abbildung hantierst wie in deinem Initialpost, dann ist der Beweis auch schon vollbracht. Grüße, sibelius84
06.11.2017, 16:22	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es so richtig: $\begin{eqnarray} <br /> ab = f(g)f(h) = f(gh) = f(hg) = f(h)f(g) = ba <br /> \end{eqnarray}$ es kommt mir so simpel vor - kann das wirklich so stimmen? Und zu Punkt b) habe ich noch einen Ansatz: Wenn ein $\begin{eqnarray} h \in H \end{eqnarray}$ habe, für das gilt: $\begin{eqnarray} <br /> h=f(\tilde{u})=f(u^{n})=(f(u))^{n}<br /> \end{eqnarray}$ und von f(u) wissen wir ja, dass es ein Element aus H ist - folgt daraus nun schon, dass H zyklisch ist? LG
06.11.2017, 18:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) stimmt b) stimmt Damit es reif für die Veröffentlichung ist, macht die MathematikerIn meistens einen hübschen Text um die Formeln. Vorschlag: a) Seien $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Gruppen und $\begin{eqnarray} f:G \rightarrow H \end{eqnarray}$ ein Epimorphismus, und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ sei abelsch. Seien $\begin{eqnarray} a,b \in H \end{eqnarray}$ , dann gibt es wegen der Surjektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Elemente $\begin{eqnarray} g,h\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=f(g),b=f(h) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} <br /> ab = f(g)f(h) = f(gh) = f(hg) = f(h)f(g) = ba <br /> \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ abelsch. q.e.d. b) Seien $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Gruppen und $\begin{eqnarray} f:G \rightarrow H \end{eqnarray}$ ein Epimorphismus, und $\begin{eqnarray} G=<u> \end{eqnarray}$ sei zyklisch. Sei $\begin{eqnarray} h\in H \end{eqnarray}$ , dann gibt es wegen der Surjektivität von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Element $\begin{eqnarray} v=u^n\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h=f(v)=f(u^n)=(f(u))^n \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} H=<f(u)> \end{eqnarray}$ zyklisch. q.e.d.

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