Konvergenz von Wurzeln

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konvg Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Wurzeln
ich habe eine Aufgabe, indem ich Hilfe möchte:

konvergent mit Grenzwert . Zu zeigen:



Für 1. habe ich die Definition benutzt zu zeigen, dass wenn:
ist dann impliziert dass . Das ist das gleiche wie:

Aber ich glaube ich bin in der falschen Richtung gegangen, um die Aufgabe zu beweisen. Ich dachte vielleicht, ich kann das Sandwich-Lemma benutzten aber bringt mich auch nicht so weiter.

Danke im Voraus.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls die Folge gegen konvergiert, dann konvergiert auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen (Cauchyscher Grenzwertsatz).

Damit kannst du die zweite Aussage zeigen.

Die erste Aussage beweist du dann mithilfe der zweiten, dem Sandwich-Lemma und der Ungleichung vom arithmetischen/geometrischen/harmonischen Mittel.
konvg Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich werde das ausprobieren und dann nochmal schreiben. Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch die erste Aussage direkt mit dem Cesaro-Mittel beweisen, angewandt auf die Folge .

Mich irritiert noch ein wenig die Symbolik vs. :

Soll das erste "ohne Null" und das zweite "mit Null" bedeuten? verwirrt

Sollte dies zutreffen, dann ist für a=0 wohl eine kleine Sonderbetrachtung fällig.
konvg Auf diesen Beitrag antworten »

ist ohne null. Also, die Menge der positiven reellen Zahlen


ist mit null. Positive reelle auch mit null.
konvg Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man genau das Cesàro-Mittel benutzen, wenn die Aufgabe hat? Soll man auch mit die 2 das Sandwich-Lemma benutzen?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir zunächst mal den Fall .


Aus der Voraussetzung kannst du dann sofort folgern, schlicht aufgrund der Stetigkeit von auf .

Auf die Folge wendet man den Cauchyschen Grenzwertsatz



an, und hat nach einem kurzen Umformungsschritt direkt die Behauptung!


Wie ich aber schon sagte, im anderen möglichen Fall ist die Begründung ein wenig anders: Da folgt aus die bestimmte Divergenz . Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob es Formulierungen des Cauchyschen Grenzwertsatz gibt, die auch die bestimmten Divergenzen abdecken, aber sicherheitshalber kann man den Nachweis hier auch "zu Fuß" bewältigen. Augenzwinkern
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