Implikationskette Archimedisches Axiom

06.11.2017, 00:23

HansoutofGlück

Implikationskette Archimedisches Axiom

Meine Frage:
Heyho liebes Matheboard!

Also ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. bin ich mir nicht sicher ob ich die Beweisführung richtig angegangen bin.

https://gyazo.com/8be106a5dfd1aa1261afbd6b68c299ac (siehe auch Anhang)

Meine Ideen:
Also ich habe es mit der Vorgeschlagenen Implikationskette versucht.

sprich: $\begin{eqnarray*} \forall R\in \mathbb R \exists n\in \mathbb N : n > R \Rightarrow \forall a,b > 0 \exists n\in \mathbb N : na > b \Rightarrow \forall e > 0 \exists n\in \mathbb N : \frac{1}{n} < e \Rightarrow a) \end{eqnarray*}$

also a) => b)
$\begin{eqnarray*} \forall R\in \mathbb R \exists n\in \mathbb N : n > R \Rightarrow \forall a,b > 0 \exists n\in \mathbb N : na > b \end{eqnarray*}$

setzte ich für b , a ein und a =1

=> $\begin{eqnarray*} \forall R\in \mathbb R \exists n\in \mathbb N : n > R \Rightarrow \forall a > 0 \exists n\in \mathbb N : a < n \end{eqnarray*}$

b) => c)
$\begin{eqnarray*} \forall a > 0 \exists n\in \mathbb N : a < n\Rightarrow \forall e > 0 \exists n\in \mathbb N : \frac{1}{n} < e \Rightarrow a) \end{eqnarray*}$

also wenn e > beliebig ist, dann => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} > 0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \exists n\in \mathbb N : \frac{1}{e} \leq n \end{eqnarray*}$

was beweist, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < e \end{eqnarray*}$ gilt

weiter komm ich hier irgendwie nicht ... jetzt fehlt noch c) => a), aber ich hab die Vermutung, dass bei dem bisherigen schon etwas nicht stimmt und das bringt mich grade ein bisschen zum verzweifeln. Ja ich bin nicht sonderlich gut in Mathe und ich weiß, dass ich mehr aus den Vorlesungen nacharbeiten muss.

06.11.2017, 00:47

10001000Nick1

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RE: Implikationskette Archimedisches Axiom
Willkommen

im Matheboard!

Zitat:

Original von HansoutofGlück
also a) => b)
[...]
setzte ich für b , a ein und a =1

Das darfst du so nicht machen. Du sollst zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, nicht nur im Spezialfall $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ . (Nebenbei: Wenn du $\begin{eqnarray*} b=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ setzt, folgt auch $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ .)

Tipp: Um b) zu beweisen (mithilfe von a)) setze in a) $\begin{eqnarray*} R:=\frac ba \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HansoutofGlück
b) => c)
[...]
also wenn e > beliebig ist, dann => $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} > 0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \exists n\in \mathbb N : \frac{1}{e} \leq n \end{eqnarray*}$

Warum existiert ein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ? (Übrigens brauchst du "echt kleiner", d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} {\color{red}{<}} n \end{eqnarray*}$ ).

Für c)=>a) setze $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=\frac 1R \end{eqnarray*}$ .

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