Mit Induktion explizite Vektorformel beweisen

06.11.2017, 14:36

xxJan

Mit Induktion explizite Vektorformel beweisen

Gutten Tag zusammen,

ich habe folgendes Problem:

Gegeben sind die folgenden Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} ; \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit sind die folgenden Vektoren definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{0} = \vec{b}; \vec{z}_{n} = \vec{a}x (\vec{a} x \vec{p}_{n} \end{eqnarray*}$

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{p}_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist rekursiv definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{n+1} = \frac{Skalarprodukt (\vec{z_{n}, \vec{b}) } }{Skalarprodukt(\vec{b}, \vec{b}) } * \vec{b} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen sie die Vektoren p1 und p2:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{p}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Zeigen SIe mit vollständiger Induktion, dass folgende explizite Formel gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{n}=(-2)^{n}*\vec{b} n\in N_{\geq 0} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun das ich keine Ahnung habe wie ich die volständige Induktion angehen soll.

Ich hoffe mir kann einer helfen...

LG
xxJan

06.11.2017, 14:57

klarsoweit

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RE: zeigen Sie mit Induktion das die explizite Formel gilt

Zitat:

Original von xxJan
Damit sind die folgenden Vektoren definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{0} = \vec{b}; \vec{z}_{n} = \vec{a}x (\vec{a} x \vec{p}_{n} \end{eqnarray*}$

Igitt. x als Multiplikationszeichen. Du meinst wohl: $\begin{eqnarray*} \vec{z}_{n} = \vec{a} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{p}_{n}) \end{eqnarray*}$

Du könntest ja mal mit dem Induktionsanfang (wie der Name sagt) anfangen. smile

06.11.2017, 15:16

xxJan

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RE: zeigen Sie mit Induktion das die explizite Formel gilt
Ja ich hatte an die Kreuzprodukt Schreibweise gedacht Ups

Im Grunde muss ich beim Induktionsanfang erstmal zeigen das diese Formel für p_0 gilt und im Anschluss dann das sie für alle n \in \mathbb N gilt oder?

Das bedeutet doch dann:

IA:
$\begin{eqnarray*} p_0 = (-2)^{0}* \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = p_0 \end{eqnarray*}$

IV: Für ein beliebiges aber festes n gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{n} = (-2)^{n}*\vec{b} \end{eqnarray*}$

IB: Dann gilt auch:
$\begin{eqnarray*} \vec{p}_{n+1} = (-2)^{n+1}*\vec{b} \end{eqnarray*}$

IS: .....

Ist das dann bisher so richtig?
Bei dem Induktionsschluss weiß ich allerdings nicht so wirklich wie ich vorgehen soll.

06.11.2017, 15:16

mYthos

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Ich habe jetzt zwei Mal nachgerechnet, irgendwo ist schon am Anfang der Wurm drin.
Ich habe z0 = (-2; -4; -2), z1 = (-8; -16; -8), p1 = (0; -4; 0) und p2 = (0: -16; 0)

Also wird es wohl schwer sein, eine falsche Formel zu beweisen. Oder die Formel für p_(n+1) ist dubios ... verwirrt

mY+

06.11.2017, 15:22

IfindU

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Die Formel für $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ stellt die Projektion von $\begin{eqnarray*} z_{n-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dar. Die wird sicher gemeint sein. Bei $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ frage ich mich eher, ob nicht $\begin{eqnarray*} \vec z_n = \vec a \times \vec p_n \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Edit: Vermutlich doch eher $\begin{eqnarray*} \vec z_n = \vec a \times (\vec a \times \vec p_n) \end{eqnarray*}$ . Ich hatte gerade einen Denkfehler und dachte das ist immer 0. Aber ist natürlich Stuss.

06.11.2017, 15:27

mYthos

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@xxJan
Schreibe doch bitte die Formel für z_n EINDEUTIG, bevor wir da weiter herumgurken.
Nichts ist ärgerlicher, als wegen schlampiger Schreibweise leere Kilometer zu fahren und Zeit unnütz zu vergeuden.
Ich bin jetzt wieder raus, ist eh nicht mein Thread Big Laugh

[Weil ich am Anfang so lange gebraucht habe, die Sachlage zu klären]

mY+

06.11.2017, 15:33

xxJan

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$\begin{eqnarray*} \vec{z}_{n} = \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{p}_{n}) \end{eqnarray*}$

also zn ist das Kreuzprodukt von Vektor a mit dem kreuzprodukt von Vektor a und pn

06.11.2017, 15:45

klarsoweit

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RE: zeigen Sie mit Induktion das die explizite Formel gilt

Zitat:

Original von xxJan
Das bedeutet doch dann:

IA:
$\begin{eqnarray*} p_0 = (-2)^{0}* \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = p_0 \end{eqnarray*}$

Vor allem bedeutet das, daß $\begin{eqnarray*} \vec{p_0} = \vec b \end{eqnarray*}$ ist.

Nachdem das mit dem Kreuzprodukt geklärt ist, geht es mit dwem Induktionsschritt weiter. Du könnest ja mal $\begin{eqnarray*} \vec{p_{n+1}} \end{eqnarray*}$ hinschreiben und bekannte Informationen einsetzen.

06.11.2017, 16:04

xxJan

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RE: zeigen Sie mit Induktion das die explizite Formel gilt
$\begin{eqnarray*} \vec{p}a_{n+1}= \frac{(\vec{z}_{n}, \vec{b})}{(\vec{b}, \vec{b}) }* \vec{b} \end{eqnarray*}$

zusätzlich könnte man noch die Formel für $\begin{eqnarray*} \vec{z}_n \end{eqnarray*}$ einsetzen.
So das man hat:

$\begin{eqnarray*} \vec{p}a_{n+1}= \frac{((\vec{a}\times (\vec{a} \times \vec{p}_n)), \vec{b})}{(\vec{b}, \vec{b}) }* \vec{b} \end{eqnarray*}$

Muss ich diese dann mit der Expliziten Formel die Bewiesen werden soll gleichsetzen?

Sorry für die () beim Skalarprodukt, habe noch nicht entdeckt wie man diese Spitzen macht die normalerweise dafür verwendet werden.

06.11.2017, 18:21

IfindU

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RE: zeigen Sie mit Induktion das die explizite Formel gilt
Da ich mich schon eh in den Thread eingemischt habe. Die Klammern gehen entweder direkt mit der Tastatur <, > (unten links auf der Tastatur), oder in LaTeX schöner mit \langle, \rangle (kurz für left angle und right angle). Die beiden sehen dann so aus $\begin{eqnarray*} < a,b > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle a , b\rangle \end{eqnarray*}$ .

06.11.2017, 19:18

mYthos

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.. oder man schreibt einfach $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ , der Punkt bezeichnet dann eine skalare Multiplikation, im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ beim Vektorprodukt.
------------------

@xxJan, bitte entschuldige meinen vielleicht zu heftigen emotionalen Ausbruch von Nachmittag!
Dafür helfe ich dir jetzt ..

Zuerst:
Was soll denn bei dir der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \vec pa_{n+1} \end{eqnarray*}$ bedeuten, wo kommt das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ her? Wieder so etwas, was nicht hierher gehört, oder? verwirrt

-----------------

Dann, schließen wir daran an, was du zuletzt geschrieben hast, das ist im Wesentlichen richtig. Ich lasse mal das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ weg:

$\begin{eqnarray*} \vec p_{n+1} = \frac{\langle \vec a \times (\vec a \times \vec p_n),\vec b \rangle}{\langle \vec b, \vec b \rangle} \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

Dort setze nun für $\begin{eqnarray*} \vec p_n \end{eqnarray*}$ die Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} \vec p_n = (-2)^n \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ ein und beachte, dass hier - der Angabe wegen - gilt: $\begin{eqnarray*} \langle \vec b, \vec b \rangle = 1 \end{eqnarray*}$ (!)

Wenn du eingesetzt und richtig gerechnet hast, wird/soll sich als Resultat $\begin{eqnarray*} \vec p_{n+1} = (-2)^{n+1} \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ ergeben und der Beweis ist geschafft.

Also

$\begin{eqnarray*} \vec p_{n+1} = \left[ \langle \vec a \times (\vec a \times (-2)^n \vec b),\vec b \rangle \right] \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} (-2)^n \end{eqnarray*}$ kann aus dem Vektorprodukt ausgeklammert werden!

$\begin{eqnarray*} \vec p_{n+1} = (-2)^n \left( \langle \vec a \times (\vec a \times \vec b),\vec b \rangle \right) \cdot \vec b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec p_{n+1} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

06.11.2017, 21:39

xxJan

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Zitat:

Original von IfindU
Da ich mich schon eh in den Thread eingemischt habe. Die Klammern gehen entweder direkt mit der Tastatur <, > (unten links auf der Tastatur), oder in LaTeX schöner mit \langle, \rangle (kurz für left angle und right angle). Die beiden sehen dann so aus $\begin{eqnarray*} < a,b > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle a , b\rangle \end{eqnarray*}$ .

Cool vielen Dank smile

@Mythos
Das mit dem Ausbruch ist nicht schlimm, ich kann mir vorstellen das es echt nervig ist wenn jemand nach hilfe fragt und dann nur die hälfte auf die Kette bekommt Ups

Aufjedenfall hat alles funktioniert also vielen vielen dank für deine Hilfe Wink

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