Konvergenzeigenschaften

06.11.2017, 17:16

hans777

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Konvergenzeigenschaften

Hallo

wie kann man zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} = x \Rightarrow x_n^{\frac{1}{n}} = x <br /> \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unendlich geht und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ positive ist und alle $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind?

06.11.2017, 17:20

HAL 9000

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Redest du wirklich über zwei Folgen $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ und $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ , oder letzten Endes doch nur über eine ? Räume mal ein bisschen auf.

06.11.2017, 17:56

hans777

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Hoopla -_-

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} = x \Rightarrow x_n^{\frac{1}{n}} = x <br /> \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unendlich geht und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positive ist und alle $\begin{eqnarray*} x_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind?[/quote]

06.11.2017, 20:46

hans777

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Kann jemand mir bitte helfen?

06.11.2017, 20:50

sibelius84

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Zitat:

Original von hans777
Hoopla -_-

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} = x \end{eqnarray*}$

Wenn die Folge wirklich die Voraussetzung erfüllen soll, die da steht, dann kannst du in Abhängigkeit von x_0 ganz leicht x_1, x_2, ... und damit einen expliziten Term für die ganze Folge bestimmen, aus dem du die Behauptung dann leicht beweisen kannst.

Aber da du nachher mit "n gegen Unendlich" anfängst, vermute ich mal eher, dass die Folge vielleicht doch nicht ganz die Voraussetzung erfüllen soll, die da steht, sondern eigentlich etwas anderes gemeint ist...?

06.11.2017, 21:14

hans777

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Ah mist. Es tut mir wirklich leid.

Es sollte so sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} \rightarrow x \Rightarrow x_n^{\frac{1}{n}} \rightarrow x <br /> \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unendlich geht und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positive ist und alle $\begin{eqnarray*} x_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind?

Hier ist auch ein Hinweis:

Falls fur gewisse $\begin{eqnarray*} c, c' > 0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} n_0\geq2 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x_{n-1}\cdot c' < x_n < x_{n-1}\cdot c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, folgt induktiv $\begin{eqnarray*} x_{n_0-1} \cdot c'^{1+n-n_0} < x_n < x_{n_0-1} \cdot c^{n-n_0+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

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06.11.2017, 21:35

sibelius84

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Da muss man ziemlich künstlich rumformen, bis man was kriegt, und durchaus ein wenig künstlerisch beim Abschätzen sein, denke ich.

Wähle vorsorglich schon mal N so groß, dass | x_{n+1}/x_n - x |< eps, wenn n >= N. Dann schreibt man sich sowas hin wie

$\begin{eqnarray*} x_{n+k} = \frac{x_{n+k}}{x_{n+k-1}}x_{n+k-1} = \ldots = \frac{x_{n+k}}{x_{n+k-1}}\frac{x_{n+k-1}}{x_{n+k-2}}\ldots\frac{x_{n+1}}{x_{n}}x_n \end{eqnarray*}$ .

Wenn n >= N, werden die ganzen Brüche rechts schon "nah" an x sein (vorausgesetzt, dass eps wie immer "klein" ist).
Hilft dir das etwas fürs Verständnis?

Weitere Überlegung: Wenn N festliegt, und x_N positiv ist, dann wissen wir ja
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x_N}\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 1 \end{eqnarray*}$ .

Um einen formal sauberen Beweis hinzukriegen, muss man etwas tüfteln, evtl. mit der AGM-Ungleichung probieren.

07.11.2017, 06:33

hans777

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So Du hast rekursiv von n+k bis n die Konvergenz sozusagen eingesetzt und das minus x ist kleiner als epsilon. Ja das ist okay. Wie kann ich denn den Hinweis benutzen?

07.11.2017, 10:52

Matt Eagle

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Setze $\begin{eqnarray*} x_0:=1 \text{ und } a_n:=\frac {x_n}{x_{n-1}} \end{eqnarray*}$ dann ist lt Vor. $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=x \end{eqnarray*}$ und außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x_n}=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}~. \end{eqnarray*}$

Mit AM-GM-HM und dem Cauchyschen GWS kannst Du den Sack dann zu machen.

07.11.2017, 18:27

hans777

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Hi Matt, mein erster Beitrag hat ein paar Fehler drin deswegen denke ich, dass deine Empfehlung geht vielleicht nicht. Ein paar Beiträge oben habe ich alles richtig formuliert.

07.11.2017, 18:57

hans777

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Kann jemand mir bitte einen Tipp geben, wie man anfange sollte? Ich bin noch nicht weiter gekommen. :/

07.11.2017, 19:07

IfindU

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Matt es die richtige Formulierung genommen. Mit seinem Ansatz kannst du auch ansetzen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \log ( \sqrt[n] {x_n})= \log x \end{eqnarray*}$ (wenigstens für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ ). Wenigstens dafür kann man sofort den Cauchyschen Grenzwertastz anwenden. Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ muss man nur etwas vorsichtiger argumentieren.

Edit: Hast du mal ausgerechnet was $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ ergibt? Ist ein "Teleskopprodukt".

07.11.2017, 23:33

hans777

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Ich bin momentan hier:

wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ wenn n nach unendlich geht. Wobei k eine Konstante ist.

$\begin{eqnarray*} (x-\epsilon) \leq \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq (x+\epsilon) \end{eqnarray*}$

Sind die liminf/sup gültig hier? Also, kann ich das so aufschreiben?

09.11.2017, 00:54

hans777

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Kann die umgekehrte Richtung gelten?

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} \rightarrow x \Leftarrow x_n^{\frac{1}{n}} \rightarrow x <br /> \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nach unendlich geht und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positive ist und alle $\begin{eqnarray*} x_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind?

Ich habe so was gemacht:

$\begin{eqnarray*} (x - \epsilon) \leq x_n^{\frac{1}{n}} \leq (x + \epsilon) \end{eqnarray*}$

Alle bei ^n:

$\begin{eqnarray*} (x - \epsilon)^n \leq x_n \leq (x + \epsilon)^n \end{eqnarray*}$

Und dann soll ich versuchen das irgendwie einen Widerspruch zu finden?

09.11.2017, 09:52

IfindU

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Zitat:

Original von hans777
wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{k} = 1 \end{eqnarray*}$ wenn n nach unendlich geht. Wobei k eine Konstante ist.
$\begin{eqnarray*} (x-\epsilon) \leq \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq (x+\epsilon) \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist aber keine Konstante. Wie willst du es hier anwenden?

Die Rückrichtung sieht auch falsch aus. Also die Aussage bereits, dementsprechend könnte ein Beweis nicht richtig sein.

09.11.2017, 10:21

HAL 9000

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So wie es beim Cauchyschen Grenzwertsatz einfache Gegenbeispiele gibt, so ist es auch hier ein leichtes, welche zu finden, z.B. $\begin{align*} x_n = x^n\cdot 2^{(-1)^n} \end{align*}$ .

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