Stetigkeit in epsilon Umgebung

07.11.2017, 00:09	Das_asdf_Wort	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit in epsilon Umgebung Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0},x\rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray}$ stetig. Welche der folgenden Werte von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ funktionieren in der Definition von Stetigkeit für diese Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ = 1/3. Gib alle korrekten Möglichkeiten an. Nun kommt eine riesen Auswahl an Möglichkeiten, alle durch zu probieren dauert zu lange. Also möchte ich nach meinem Delta umformen, sodass ich die Werte ablesen kann. Stimmt mein Ansatz? Es muss gelten $\begin{eqnarray} \|x-1\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x}-1\|<\epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}<\|\sqrt{x}-1\|<\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ 1 addieren und alles quadrieren gibt: $\begin{eqnarray} \frac{4}{9}<x<\frac{16}{9} \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt 1 wieder abziehe, komme ich auf die Form von Delta $\begin{eqnarray} -\frac{5}{9}<x-1<\frac{7}{9} \end{eqnarray}$ Da wir nur alle positiven Werte anschauen, gehen sie bis zu einem Delta <7/9 Stimmt das so? Danke Euch
07.11.2017, 01:57	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in epsilon Umgebung Nicht ganz. $\begin{eqnarray} x-1 \end{eqnarray}$ kann auch negativ sein. Und gesucht sind $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Umgebungen von $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , die ganz im Intervall $\begin{eqnarray} -5/9<x-1<7/9 \end{eqnarray}$ liegen.

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