Vereinfachen und geometrische Interpreatation

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07.11.2017, 11:38	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachen und geometrische Interpreatation Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabenstellung: Gegeben sind 2 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und \vec{b} im \mathbb Rx^{3} [/latex]. Bestimmen Sie den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ als Projektion von $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und dann de Vektor $\begin{eqnarray} \vec{q} \end{eqnarray}$ , die Projektion von $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec{b}. \end{eqnarray}$ Berechnen Sie daraus : $\begin{eqnarray} \frac{\| \| q \| \| }{\| \| p \| \| } \end{eqnarray}$ und vereinfache das Ergebnis so, dass darin nur noch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ vorkommen. Kann man das Ergebnis geometrisch interpretieren? Das habe ich bisher: $\begin{eqnarray} \vec{a},\vec{b} \in \mathbb Rx^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{p}= \frac{<\vec{b}, \vec{a}> }{<\vec{a},\vec{a}}\vec{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{q}= \frac{<\vec{p}, \vec{b}> }{<\vec{b},\vec{b}}\vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\frac{\|<\vec{p},\vec{b}>\|}{b} \|}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\| \| q \| \| }{ \| \| p\| \| } = \frac{\| \| \frac{<\vec{p}, \vec{b}> }{<\vec{b},\vec{b}}\vec{b} \| \|}{\| \| \frac{<\vec{b}, \vec{a}> }{<\vec{a},\vec{a}}\vec{a} \| \|} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{\frac{\|<\vec{p},\vec{b}>\|}{\|\|b\|\|}} {\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\|\|a\|\|}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{\frac{\|<\frac{<\vec{b}, \vec{a}> }{<\vec{a},\vec{a}>}\vec{a},\vec{b}>\|}{\|\|b\|\|}}{\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\|\|a\|\|} } \end{eqnarray*}$ Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter Vereinfachen kann.. Ich hoffe es kann mir einer helfen LG xxJan
07.11.2017, 12:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, dass $\begin{eqnarray} \lambda:= \frac { \langle b, a \rangle } {\langle a, a\rangle } \end{eqnarray}$ einfach ein Skalar ist. Und das Skalarprodukt ist bilinear, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} \langle \lambda v, w \rangle = \lambda \langle v, w\rangle \end{eqnarray}$ . Edit: LaTeX-Hinweis: Du kannst \\ als Zeilenumbruch verwenden und & als Markierung zum Sortieren. Dann sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\| \| q \| \| }{ \| \| p\| \| } &=& \frac{\| \| \frac{<\vec{p}, \vec{b}> }{<\vec{b},\vec{b}}\vec{b} \| \|}{\| \| \frac{<\vec{b}, \vec{a}> }{<\vec{a},\vec{a}}\vec{a} \| \|} \\ &=&\frac{\frac{\|<\vec{p},\vec{b}>\|}{\|\|b\|\|}} {\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\|\|a\|\|}}\\ &=& \frac{\frac{\|<\frac{<\vec{b}, \vec{a}> }{<\vec{a},\vec{a}>}\vec{a},\vec{b}>\|}{\|\|b\|\|}}{\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\|\|a\|\|} } \end{eqnarray}$ . Und bei so kurzen Dinge sieht es besser aus wenn du es einfach in eine Zeile schreibst. Ausserdem ist \\| ein schöneres Normzeichen als \|\|. Im Vergleich: $\begin{eqnarray} \\| a \\| = \|\|a\|\| \end{eqnarray*}$ . Alles nur Details, aber schadet nicht es zu wissen
07.11.2017, 12:52	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet ja dann, dass ich $\begin{eqnarray} \frac{<\vec{b},\vec{a}>}{<\vec{a},\vec{a}>} \end{eqnarray}$ aus dem Skalarprodukt rauszihen kann. Dementsprechend: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{\|\frac{<\vec{b},\vec{a}>}{<\vec{a},\vec{a}>}<\vec{a},\vec{b}>\| }{\|\|\vec{b}\|\|} }{\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\|\|a\|\|} } \end{eqnarray*}$ Cool Dankeschön für die Tipps
07.11.2017, 13:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und langsam wird es wirklich Zeit, dass du den Doppelbruch auflöst.
07.11.2017, 14:07	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es dafür besser die Zwei kleinen Brüche oder den großen Bruch aufzulösen?
07.11.2017, 14:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Persönlich bevorzuge ich Brüche der Form $\begin{eqnarray} \frac a b \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ selbst keine Brüche enthalten. Wer kann schon vernünftig mit $\begin{eqnarray} \frac { \frac { a } {d} } {\frac b {\frac{c} {e}} } \end{eqnarray}$ und der gleichen arbeiten.
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07.11.2017, 14:23	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in der Art? $\begin{eqnarray} \frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\frac{1}{<\vec{a},\vec{a}>}<\vec{a},\vec{b}>\|\frac{1}{\\|b\\|}}{\|<\vec{b},\vec{a}>\|\frac{1}{\\|a\\|}} \end{eqnarray}$ oder soll das 1/\|\|a\|\| in $\begin{eqnarray} \\|a\\|^{-1} \end{eqnarray}$ geändert werden?
07.11.2017, 14:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einfach nicht so etwas schreiben wie $\begin{eqnarray} \frac { \text{Zaehler} \cdot \frac 1 {\\|a \\|}} {\text{Nenner}} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \frac { \text{Zaehler} } {\\|a\\| \cdot \text{Nenner}} \end{eqnarray}$ . Wie gesagt, bin ich kein Fan von Brüchen in Brüchen. Ich bin sicher so tust du dich gerade schwer $\begin{eqnarray} \frac { \frac 1 { \langle a, a \rangle } }{ \frac 1 { \\|a\\| } } \end{eqnarray}$ zu kürzen.
07.11.2017, 14:34	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl wahr das bereitet mir Schwierigkeiten... Das heißt also ich soll die $\begin{eqnarray} \frac{1}{\\|b\\|} \end{eqnarray}$ in den Nenner ziehen?
07.11.2017, 14:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammen mit $\begin{eqnarray} \langle a, a \rangle \end{eqnarray}$ während $\begin{eqnarray} \\|a \\| \end{eqnarray}$ in den Zähler hüpft.
07.11.2017, 14:55	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also so? $\begin{eqnarray} \frac{\|<\vec{b},\vec{a}><\vec{a},\vec{b}>\|\\|a\\|}{\|<\vec{b},\vec{a}>\|<\vec{a},\vec{a}>\\|b\\|} \end{eqnarray}$ Oder habe ich da einen gedanklichen fehler gemacht?
07.11.2017, 14:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt so. Und sieht doch deutlich sympathischer aus. Nun kannst du schön $\begin{eqnarray} \langle a, a \rangle = \\| a \\|^2 \end{eqnarray}$ benutzen und einen Teil kürzen, und ebenso für Skalare $\begin{eqnarray} \lambda ,\mu \end{eqnarray}$ die Identität $\begin{eqnarray} \| \lambda \mu \| = \|\lambda \| \cdot \|\mu\| \end{eqnarray}$ benutzen.
07.11.2017, 15:12	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht dann der Rest so in der Art aus? $\begin{eqnarray} = & \frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|\|<\vec{a},\vec{b}>\|\\|a\\|}{\|<\vec{b},\vec{a}>\|\\|a\\|^{2}\\|b\\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =&\frac{\|<\vec{b},\vec{a}>\|}{\\|a\\|\\|b\\|} \end{eqnarray*}$
07.11.2017, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Jetzt fehlt nur noch die geometrische Interpretation. Tipp: Es hat etwas mit dem Kosinus zu tun
07.11.2017, 15:20	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
der arccos von dem Ausdruck ist doch der Winkel zwischen a und b oder?
07.11.2017, 15:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
07.11.2017, 15:55	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei ich merke gerade die Betragsstriche im Zähler verhindern das doch oder nicht? Bekomme ich die auch irgendwie Weg oder kann man die ignorieren?
07.11.2017, 16:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich musste auch kurz überlegen. Es hängt davon ab, was man unter "eingeschlossenem" Winkel versteht. Unabhängig davon, addieren sich die Winkel von $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a, -b \end{eqnarray}$ auf 180° auf. D.h. die Winkel stehen in trivialer affiner Beziehung zueinander. Anders gesagt. Je nachdem was man unter eingeschlossenem Winkel versteht, ist der Ausdruck, je nach Vorzeichen von $\begin{eqnarray} \langle a,b\rangle \end{eqnarray}$ dann der Winkel zwischen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a, -b \end{eqnarray}$ .
07.11.2017, 16:06	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sind die Betragsstriche nicht trivial? weil die Formel für den Winkel normalerweise ja ohne Betragsstriche im Zähler ist? So gesehen müsste man die doch weglassen können, da der betrag des Skalars ja dann: x wäre dann das Ergebnis des Skalarproduktes $\begin{eqnarray} \sqrt{x^{2}} \end{eqnarray}$ wäre und das ist ja x
07.11.2017, 16:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist also der Meinung, dass für $\begin{eqnarray} x= -1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \sqrt { (-1)^2} = \sqrt { 1} \stackrel?= -1 \end{eqnarray}$ . Man darf es nicht weglassen. Was man machen kann ist eine Fallunterscheidung. Ist $\begin{eqnarray} \langle a,b \rangle \geq 0 \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \| \langle a,b \rangle\| = \langle a,b \rangle \end{eqnarray}$ . Ist andererseits $\begin{eqnarray} \langle a,b \rangle < 0 \end{eqnarray}$ so gilt $\begin{eqnarray} \|\langle a,b \rangle\| = -\langle a,b \rangle = \langle -a,b \rangle = \langle a,-b \rangle \end{eqnarray}$ , nach der Bilinearität des Skalarprodukts.
07.11.2017, 16:21	xxJan	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja... an Minus hatte ich gar nicht gedacht. Nagut aufjedenfall vielen, vielen Dank für deine Hilfe alleine wäre ich da nie drauf gekommen.
07.11.2017, 16:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.

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