Qualitatives Wachstum von Polynomen/Potenzen

07.11.2017, 18:11

annika040699

Qualitatives Wachstum von Polynomen/Potenzen

Meine Frage:
Ich komme leider bei der folgenden Aufgabe nicht ganz weiter:
Es ist das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=x^{3}-12x^{2}+32x-17 \end{eqnarray*}$ gegeben. Gesucht ist ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} p(n) < (\frac{8}{5})^{n} \end{eqnarray*}$ für alle n \geq n_{0} [/latex] .

(a) Begründen Sie, warum es eine solche natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ gibt.

(b) Finden Sie die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft. Beweisen Sie, dass die angegebene Zahl $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ die geforderte Eigenschaft hat.

Meine Ideen:
Für (a) würde ich antworten, dass Potenzen schneller wachsen als Polynome und dementsprechend der rechte Ausdruck irgendwann größer wird.

(b): Die Zahl $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ habe ich durch ausprobieren herausgefunden. $\begin{eqnarray*} n_{0} = 10 \end{eqnarray*}$ hat die geforderte Eigenschaft. Kann man die Zahl auch anders ermitteln? Und was ist mit dem Beweis gemeint? Wie soll ich beweisen, dass die Zahl die geforderte Eigenschaft hat?

07.11.2017, 18:14

annika040699

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RE: qualitatives Wachstum von Polynomen/Potenzen Aufgabe
*für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ .

08.11.2017, 11:31

Huggy

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RE: qualitatives Wachstum von Polynomen/Potenzen Aufgabe

Zitat:

Original von annika040699
Für (a) würde ich antworten, dass Potenzen schneller wachsen als Polynome und dementsprechend der rechte Ausdruck irgendwann größer wird.

Falls ihr das schon bewiesen habt, ja. Das hilft aber für b) nicht viel.

Zitat:

(b): Die Zahl $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ habe ich durch ausprobieren herausgefunden. $\begin{eqnarray*} n_{0} = 10 \end{eqnarray*}$ hat die geforderte Eigenschaft.

Das ist nicht richtig. Es ist z. B. $\begin{eqnarray*} p(11)>(8/5)^{11}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und was ist mit dem Beweis gemeint? Wie soll ich beweisen, dass die Zahl die geforderte Eigenschaft hat?

Zunächst sollte man eine Zahl $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ suchen, für die die Behauptung beweisbar richtig ist. Um $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu finden, muss dann nur noch prüfen, für welche $\begin{eqnarray*} n<n_1 \end{eqnarray*}$ die Behauptung noch immer stimmt.

Um $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ zu finden, sollte man $\begin{eqnarray*} p(n) \end{eqnarray*}$ erst mal nach oben abschätzen. Es gilt offenbar für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x)<x^3+32x \end{eqnarray*}$

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2\geq 32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 \geq 32x \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} p(x)<2x^3=p_1(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt schaut man, für welches $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ man $\begin{eqnarray*} p_1(n_1)<(8/5)^{n_1} \end{eqnarray*}$ hat. Dann ist noch zu zeigen, dass das auch für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_1 \end{eqnarray*}$ gilt. Dazu schaut man, ab wann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {p_1(n+1)}{p_1(n)}\leq \frac 8 5 \end{eqnarray*}$

Der linke Quotient ist eine mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ streng monoton fallende Funktion.

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