Existenz einer Folge - Häufungspunkte

07.11.2017, 23:45

schmit

Existenz einer Folge - Häufungspunkte

Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

ich habe eine Aufgabe, die ich damit nicht so klar komme:

Zeigen Sie die Existenz einer Folge, die genau [0, 1] als Menge ihrer Häufungspunkte hat.

Wie kann man hier solch eine Folge bilden?

08.11.2017, 00:20

ML_

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RE: Existenz einer Folge - Häufungspunkte

Zitat:

Zeigen Sie die Existenz einer Folge, die genau [0, 1] als Menge ihrer Häufungspunkte hat.
Wie kann man hier solch eine Folge bilden?

Du könntest sie definieren.

Ich würde an eine rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} x(n) \end{eqnarray*}$ denken mit:
$\begin{eqnarray*} x(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(n+1)= \left\{\begin{array}{ll}<br /> 0, & \mathrm{falls\,} x(n)=1 \\<br /> 1, & \mathrm{sonst}\\<br /> \end{array} \right\} \end{eqnarray*}$

Du kannst das auch schreiben als: $\begin{eqnarray*} x(n) = \sum\limits_{i=0}^n (-1)^i \end{eqnarray*}$

08.11.2017, 00:52

schmit

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Hi ML,

danke für die Hilfe. Ich dachte, dass die Menge [0,1] auch alle reellen Elemente zwischen den beiden Nummer hat? Also ist es nur 0 und 1 oder alle Nummer da zwischen?

08.11.2017, 00:57

Helferlein

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Denk Dir eine Funktion aus, die [0;1] als Bildmenge hat. Hier würde sich etwas trigonometrisches anbieten...

08.11.2017, 01:15

schmit

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Leider sind trig. Funktionen noch nicht bei mir eingeführt.

08.11.2017, 09:53

HAL 9000

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Dann nimm $\begin{align*} x_n = \alpha n - \left\lfloor \alpha n\right\rfloor \end{align*}$ mit einer beliebigen positiven irrationalen Zahl $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ .

08.11.2017, 11:18

Guppi12

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Da in der Aufgabe garnicht gefordert ist, explizit eine Folge anzugeben, könntest du auch eine Abzählung der rationalen Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ wählen. Du müsstest dir nur noch überlegen, warum diese das gewünschte liefert.

08.11.2017, 11:58

ML_

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Hallo,

Zitat:

danke für die Hilfe. Ich dachte, dass die Menge [0,1] auch alle reellen Elemente zwischen den beiden Nummer hat? Also ist es nur 0 und 1 oder alle Nummer da zwischen?

Vielleicht habe ich ja einen Gedankenfehler. Aber meines Erachtens kann es eine Folge, die alle reellen Zahlen aus [0,1] irgendwann annimmt, nicht geben. Eine Folge, die alle Zahlen aus [0,1] als Häufungspunkt annimmt, gibt es dementsprechend erst recht nicht.

Der Grund ist folgender:
- Es gibt nur abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen, d. h. nur abzählbar unendlich viele Folgenglieder.
- Es gibt aber im Intervall [0,1] aber überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen, also viel mehr.

Man könnte allenfalls darüber nachdenken, ob es eine Folge gibt, die alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 als Häufungspunkte annnimmt.

Viele Grüße
Michael

Zum Hintergrund:

Eine Bruchzahl kannst Du Dir immer als eine periodische Dezimalzahl vorstellen, z. B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = 0{,}5\overline{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \end{eqnarray*}$ . Man kann zeigen, dass es eine bijektive Abbildung von den Bruchzahlen zu den natürlichen Zahlen gibt. Die "Anzahl" der Bruchzahlen ist daher "abzählbar unendlich".
Eine reelle Zahl, die keine Bruchzahl ist, ist nicht periodisch. Die Nachkommastellen können sich zwar auch wiederholen, aber eben nicht "immer wieder", sondern nur endlich oft. Irgenwann geht es dann anders weiter. Beispiel für eine solche Zahl: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=1,414213562373095048801688724209... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi = 3,141592653589793238462643383279... \end{eqnarray*}$ .
Es ist anschaulich plausibel, dass es viel viel mehr Zahlen gibt, deren Nachkommastellen sich nicht ständig wiederholan als solche, die sich immer wiederholen. In der Mathematik hat man dazu die o. g. Begriffe "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" geprägt und natürlich genauer definiert, als ich das hier getan habe.

08.11.2017, 12:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von ML_
Aber meines Erachtens kann es eine Folge, die alle reellen Zahlen aus [0,1] irgendwann annimmt, nicht geben.

Da liegst du richtig, das klappt schon wegen der Überabzählbarkeit von [0,1] nicht.

Zitat:

Original von ML_
Eine Folge, die alle Zahlen aus [0,1] als Häufungspunkt annimmt, gibt es dementsprechend erst recht nicht.

Irrtum: Eine abzählbare Menge kann durchaus eine überabzählbare Menge von Häufungspunkten haben. Schau dir die Definition von Häufungspunkt wirklich genau an. Augenzwinkern

Betrachte einfach das Beispiel von Guppi12: Nimm eine beliebige (möglicherweise auch irrationale) Zahl $\begin{align*} x\in [0,1] \end{align*}$ , dann finden sich in jeder Umgebung von $\begin{align*} x \end{align*}$ unendlich viele rationale Zahlen, also ist $\begin{align*} x \end{align*}$ ein HP der Folge der rationalen Zahlen. Augenzwinkern

08.11.2017, 14:34

schmit

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Das folgt daraus, weil Q unendlich abzählbar ist?

08.11.2017, 14:53

HAL 9000

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Was soll daraus folgen? Dass die Menge der Häufungspunkte gleich [0,1] ist? Nein, dazu genügt nicht allein die Abzählbarkeit von $\begin{align*} \mathbb{Q}\cap [0,1] \end{align*}$ : Z.B. ist die Menge

$\begin{align*} M:= \left\{ 2^{-n} \bigm| n\in\mathbb{N}_0 \right\} \end{align*}$

auch abzählbar, aber ihre Häufungspunktmenge ist nicht im entferntesten gleich dem Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ , sie besteht nämlich nur aus einem Punkt: $\begin{align*} \{0\} \end{align*}$ . Augenzwinkern

08.11.2017, 17:01

schmit

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Ich meinte, die Tatsache, dass es unendliche viele rationale Zahlen zwischen jede irrationale gibt, ist weil Q unendlich abzählbar? Oder wieso gilt das genau.

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