DGL Berechnungen

08.11.2017, 01:13

egypt

DGL Berechnungen

Habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe :

Bestimmen Sie die Lösungen der AWP

y′=2y+e3x, y(0)=1.

Weiß jemand wie ich ran gehen soll?

08.11.2017, 01:16

egypt

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y‘=2y+e^{3x}, y(0)=1.

Korrigiert sieht es so aus.

08.11.2017, 08:41

klarsoweit

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Bestimme als erstes die allgemeine Lösung des homogenen Problems y' - 2y = 0 .

08.11.2017, 09:12

egypt

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y‘ = 2y
dy/dx = 2y

dy/2y = x

Rechts habe ich jetzt das x integriert .
Was mache ich jetzt genau ?

08.11.2017, 09:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
Rechts habe ich jetzt das x integriert .

Genauer: du hast rechts eine Stammfunktion der Funktion f(x) = 1 hingeschrieben und dabei leider die Integrationskonstante weggelassen. Auf der linken Seite solltest du ebenfalls integrieren.

Zitat:

Original von egypt
Was mache ich jetzt genau ?

Offensichtlich fehlen dir ein paar Grundlagen. Da solltest du mal in deinen Unterlagen nachschauen.

08.11.2017, 10:36

egypt

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$\begin{eqnarray*} ln(2y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

yh(x) = ....

Wie schreibe ich die homogene DGL auf ?

08.11.2017, 10:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
$\begin{eqnarray*} ln(2y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

Eine Stammfunktion von 1/(2y) ist nicht ln(2y), wie man leicht nachrechnet. smile

Zitat:

Original von egypt
yh(x) = ....

Es wäre gut, wenn du auch bei den Pünktchen was schreiben könntest.

Zitat:

Original von egypt
Wie schreibe ich die homogene DGL auf ?

Das habe ich schon getan:

Zitat:

Original von klarsoweit
Bestimme als erstes die allgemeine Lösung des homogenen Problems y' - 2y = 0 .

08.11.2017, 11:26

egypt

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$\begin{eqnarray*} 2*ln(y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

yh(x) = .... weiß net wie ich schreiben soll? Big Laugh

Wie schreibe ich die homogene DGL auf ?[/quote]

08.11.2017, 11:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
$\begin{eqnarray*} 2*ln(y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

yh(x) = .... weiß net wie ich schreiben soll? Big Laugh

Du löst die Gleichung darüber nach y auf oder worauf zielt deine Frage ab? Du mußt schon etwas konkreter in deinen Fragen werden. Wenn ich hier mal schaue, wie viel Text ich bzw. du hier geschrieben haben, dann liege ich weit vorne.

Zitat:

Original von egypt
Wie schreibe ich die homogene DGL auf ?

Auch auf diese Frage habe ich schon geantwortet. Die Wiederholung dieser Frage sagt mir, daß du eigentlich etwas anderes fragen willst (bloß was?) oder meine Antwort nicht verstanden hast.

08.11.2017, 11:41

Egypt

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$\begin{eqnarray*} 2*ln(y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{(x+2)/(c) } \end{eqnarray*}$

Bin mir nicht sicher ob das so passen würde ?

08.11.2017, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Egypt
$\begin{eqnarray*} 2*ln(y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

Zunächst müssen wir noch einen Fehler korrigieren, den ich übersehen habe. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot ln(y)+c = x+C \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizieren wir mit 2 und fassen die Konstanten zu einer zusammen:

$\begin{eqnarray*} ln(y) = 2x + C_1 \end{eqnarray*}$

Auf das nun die e-Funktion anwenden: $\begin{eqnarray*} y = e^{2x + C_1} = C_2 \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C_2 := e^{C_1} \end{eqnarray*}$

Und ob dies die Lösung des homogenen Problems ist, kannst du leicht prüfen, wenn du mal die Lösung in y' -2y = 0 einsetzt.

08.11.2017, 12:26

egypt

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Woher kommt den die C2 her ?
Kannst du mir das kurz erklären ?

Und kurz einen Tipp für die weitere Vorgehensweise Big Laugh

08.11.2017, 12:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
Woher kommt den die C2 her ?

Ich dachte, das war ausführlich genug. Wir sind hier im Hochschulbereich, da erwarte ich auch etwas Selbstständigkeit.

Es ist $\begin{eqnarray*} y = e^{2x + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$
Das weitere habe ich ja schon beschrieben.

Zitat:

Original von egypt
Und kurz einen Tipp für die weitere Vorgehensweise Big Laugh

Jetzt brauchen wir eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems: $\begin{eqnarray*} y' - 2y = e^{3x} \end{eqnarray*}$

Häufig genutzt wird dafür das Verfahren "Variation der Konstanten". Davon hast du bestimmt schon mal gehört. Dazu betrachten wir die Konstante C_2 als von x abhängige Funktion, also: $\begin{eqnarray*} y = C_2(x) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ .

Setze das nun in die DGL $\begin{eqnarray*} y' - 2y = e^{3x} \end{eqnarray*}$ ein.

08.11.2017, 12:51

egypt

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$\begin{eqnarray*} y' -2*(c_2(x)*e^{2x})= e^{3x} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Mist habe schon wieder keine Idee wie es weiter gehen soll Big Laugh

EDIT: Latex-tags ergänzt (klarsoweit)

08.11.2017, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
Mist habe schon wieder keine Idee wie es weiter gehen soll Big Laugh

Das ist eher zum Weinen als zum Lachen. unglücklich

Du mußt den Ansatz auch in das y' einsetzen, also den Ansatz $\begin{eqnarray*} y = C_2(x) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ ableiten und das dann einsetzen.

08.11.2017, 13:08

egypt

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$\begin{eqnarray*} 2e^{2x} -2*(c_2(x)*e^{2x})= e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ergibt : c_2(x) = e^{3x}

Jetzt passt es aber oder?

08.11.2017, 13:23

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Das war zu befürchten. Du hast beim Ableiten nicht die Produktregel beachtet. Außerdem verschwindet beim Einsetzen deiner Ableitung auf geheimnisvolle Weise das c_2(x).

08.11.2017, 13:55

egypt

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Ich habe einfach einmal den Exponenten und einmal äusseren Term abgeleitet .

WIe soll ich es sonst machen ?

08.11.2017, 14:07

klarsoweit

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Bei $\begin{eqnarray*} c_2(x) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um ein Produkt von zwei Funktionen. Die Ableitung dieses Produkt erfolgt mit der Produktregel. (Ich sagte es schon.) Da du hier postest, nehme ich an, daß du über ein Papier verfügst, daß die Hochschulreife bescheinigt. Die Kenntnis dieser Regel sollte Teil der Hochschulreife sein.

08.11.2017, 14:12

egypt

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e^{2x} =e^{2x} +2*e^{2x}

jetzt müsste es passen?

08.11.2017, 14:20

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Ich habe absolut keine Ahnung, was das jetzt sein soll. geschockt

Wo ist das c_2(x) geblieben oder die Ableitung davon?
Was hast du gerechnet?
Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y = c_2(x) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ ?
Was kommt dann raus, wenn du das alles in die inhomogene DGL einsetzt?

Mit deinen minimalistischen Antworten kommen wir kein Stückchen vom Fleck.

08.11.2017, 14:30

egypt

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Zitat:

Original von egypt
$\begin{eqnarray*} e^{2x}+2e^{2x} -2*(c_2(x)*e^{2x})= e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ergibt : c_2(x) = e^{3x}

Jetzt passt es aber oder?

08.11.2017, 14:33

egypt

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$\begin{eqnarray*} e^{2x}+2e^{2x} -2*(c_2(x)*e^{2x})= e^{3x} \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung wie ich das vereinfachen soll?

08.11.2017, 14:35

klarsoweit

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Es ist zum Verzweifeln. geschockt

Wie oft muß ich noch fragen, wo das c_2(x) in der Ableitung von y geblieben ist?

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} c_2'(x) \cdot e^{2x} + c_2(x) \cdot 2e^{2x} - 2*(c_2(x)*e^{2x}) = e^{3x} \end{eqnarray*}$

Das ergibt: $\begin{eqnarray*} c_2'(x) \cdot e^{2x} = e^{3x} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch nach $\begin{eqnarray*} c_2'(x) \end{eqnarray*}$ umstellen und dann davon eine Stammfunktion suchen.

08.11.2017, 14:53

egypt

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$\begin{eqnarray*} c_2'(x) = \frac{e^{3x}}{e^{2x}} = e^{x} \end{eqnarray*}$

Ich habe es vereinfacht .

Dann müsste das Integral doch e^x sein oder ?

08.11.2017, 14:58

klarsoweit

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Ja. Jetzt setzt du das in den Ansatz $\begin{eqnarray*} y = c_2(x) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ ein. Das Ergebnis ist eine Lösung y_p(x) des inhomogenen Problems.

Die Gesamtlösung der DGL ist dann $\begin{eqnarray*} y = y_h(x) + y_p(x) \end{eqnarray*}$ .
Dann mußt du noch die homogene Lösung so wählen, daß die Anfangsbedingung paßt.

08.11.2017, 15:03

egypt

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y_p = e^{3x}

Ich bin bisse durcheinander sorry.
Die homogene Lösung war jetzt wo genau ?

08.11.2017, 15:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von egypt
Die homogene Lösung war jetzt wo genau ?

$\begin{eqnarray*} y_h(x) = c_2 \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

Bekanntlich war das ja auch der Ausgangspunkt für die Methode "Variation der Konstanten". Die solltest du dir merken. Kommt bestimmt wieder mal vor. smile

08.11.2017, 15:12

egypt

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y= yh+yp = c_2*e^{2x}+e^{3x}

Wenn ich für x = 0 einsetze kommt 2+1 = 3 raus verwirrt

Wenn man das c2 nicht berücksichtigt

08.11.2017, 15:25

klarsoweit

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Ah ja, und weil du das c_2 irgendwie nicht magst, läßt du es auch einfach mal weg. unglücklich

Ich weiß auch nicht, wie du dabei auf 2+1 = 3 kommst. unglücklich

Das Problem ist nur, daß du so leider nicht die Anfangsbedingung y(0)=1 erfüllst. geschockt

Wie du Mathematik betreibst, ist einfach nur Kraut und Rüben. Ich weiß beim besten Willen nicht, was dich dazu getrieben hat. verwirrt

08.11.2017, 15:31

egypt

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Was soll ich da denn genau machen ?

08.11.2017, 15:36

klarsoweit

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Einfach mal nur ordentlich rechnen. Keine Sperenzkes machen, wie irgendwas aus Lust und Laune einfach mal weglassen.

Auf Basis der allgemeinen Lösung $\begin{eqnarray*} y(x) = c_2 \cdot e^{2x}+e^{3x} \end{eqnarray*}$ berechnest du den Funktionswert y(0). Das c_2 muß dann so gewählt werden, daß die Anfangsbedingung y(0)=1 erfüllt wird.

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