Surjektivität

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Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität
Hallo,
es geht um folgende Funktion.


[/list]
Wie finde ich raus, dass f surjektiv ist. Wenn ich die 4 Fälle betrachte, dass k oder l geraden bzw. ungerade sind, komme ich auf ein ungerades Bild. Wie kann ich jetzt weitermachen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität
Zitat:
Original von Peter5774
Wenn ich die 4 Fälle betrachte, dass k oder l geraden bzw. ungerade sind, komme ich auf ein ungerades Bild.

Auch für k=0 ?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität
Aso wenn k=0 danm ist für jedes l das 2l+1 ungerade und damit insgesamt das Bild gerade.
Wie kann ich dann argumentieren für die Surjektivität smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität
Nun ja, was ist denn für die Surjektivität laut Definition zu zeigen?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität
Es muss doch für alle( k,l ) aus N_0 x N_0 f(k,l) Element von f(k,l)
Da das Bild gerade und ungerade werden alle geraden und gerade Zahlen aus N_0 getroffen. Die 0 ist auch drin, da für k=l=0 f(k,l)=0
Stimmt das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
Da das Bild gerade und ungerade werden alle geraden und gerade Zahlen aus N_0 getroffen.

Das ist keine stichhaltige Begründung: Nur weil sowohl gerade als auch ungerade Zahlen im Bild der Funktion auftauchen heißt das noch lange nicht, dass wirklich alle geraden und ungeraden nichtnegativen Zahlen dabei erwischt werden. Dass dies wirklich der Fall ist, muss schon noch sorgfältig herausgearbeitet werden.
 
 
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Vllt so.
Sei x=2m+1 also ungerade
Für k=1 und l beliebig ist f(1,l)= 4l+1
Sei 4l:=2m Daraus folgt f(1,l)= 2m +1 also ungerade.
Sei y=2m also gerade.
Für k=0 und l beliebig ist f(0,l) = 2l
Sei also 2l:=2m
Dann ist das Bild gerade
Geht das so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier nicht darum, ob das Bild gerade oder ungerade ist. Es geht darum, daß du zu einem m ein Paar (k,l) angeben kannst, so daß f(k,l) = m ist. In deinem Beweis hast du ja schon brauchbare Ansätze. Das solltest du formal noch etwas sauberer rausarbeiten.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie genau?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz war ja im Prinzip nicht schlecht:

Sei m ungerade. Für k=1 ist dann die Gleichung 4l + 1 = m zu lösen. Und da tritt auch schon ein Problem zu Tage. Ist diese Gleichung für alle ungeraden m lösbar?
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt. Für m=7 geht das nicht. Wie soll ich es dann angehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch nicht für m=3. Das sollte den Verdacht nähren, daß die Funktion nicht surjektiv ist. Im Zweifelsfall mußt du das jetzt beweisen. Das hängt jetzt von der konkreten Aufgabenstellung ab.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe sollte sein. Beweisen sie, dass diese Funktiok bijektiv ist. Also d.h sie muss wsl surjektiv sein, aber dann anscheinend doch nicht verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Peter5774

Die Frage ist doch, ob zu beliebigen die Gleichung mit lösbar ist, umgestellt . Und jetzt sage ich mal nur noch "Primfaktorzerlegung der positiven ganzen Zahl " und halte dann die Klappe. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich übersehen, daß das l auch Null sein kann. Wenn man das k geeignet wählt, gibt es doch eine Möglichkeit. smile
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Idee von HAL9000 aufgreift, dann hat ja jede Zahl eine Primfaktorzerlegung. Kann man dann k,l so wählen dass für jede Zahl m+1 diese Zahl als Primfaktorzerlegung darstellbar ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, in der Primfaktorzerlegung gibt es ungerade Faktoren und eine 2er-Potenz, wobei der implizit vorhandene Faktor 1 auch als 2er-Potenz gewertet wird. Den Gedanken mußt du noch formal sauber zu Papier bringen. smile
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Also d.h jede Zahl m+1 ist durch bestimmte Wahl von k und l als Primfaktorzerlegung folgendermaßen darstellbar. m+1=2^k*(2l+1). Dabei bildet 2l+1 alle ungeraden Primzahlen,
2^k für k=1 die einzige gerade Primzahl 2. Für k>1 sind die Vielfachen von 2 auch wieder Primzahlen. Für k=0 ist 2^k=1. In der Multipliaktion von Primzahlen kann die 1 weggelassen werden. So vllt smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
2^k für k=1 die einzige gerade Primzahl 2. Für k>1 sind die Vielfachen von 2 auch wieder Primzahlen.

Das ist jetzt etwas schräg. In der Primzahlzerlegung taucht der Primfaktor 2 entweder gar nicht auf (wähle k=0) oder q-mal (wähle dann k=q).
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Und der faktor 2l+1 wie kann ich den beschreiben:
Dieser liefert alle ungeraden Primzahlen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Der liefert das Produkt aller ungeraden Primzahlen in der Primfaktorzerlegung.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h für alle zahlen m+1 aus N_0 kann man k und l so wählen dass sie m+1 als Primfaktorzerlegung dargestellt werden kanm also surjektiv.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, es ist m aus N_0, m+1 ist dann aus N. Zur Sicherheit könntest du den Fall m=0 noch separat behandeln.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha ok. Für k=l=0 ist f(0,0) = 0.
Dann haben wir die Surjektivität oder
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jedenfalls keine Einwände. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Abschließend noch anzumerken (und damit mache ich die Klappe wieder auf):

Die Existenz der Primfaktorzerlegung (obwohl wir die genaue Aufschlüsselung der ungeraden Primfaktoren gar nicht brauchen) liefert hier die Surjektivität.

Die Eindeutigkeit dieser Primfaktorzerlegung liefert dann aber sogar auch noch die Injektivität dieser Abbildung!
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile D.h ich kann doch dann auf die Abzählbarkeit von schließen, da f(k,l) bijektiv ist.

Die Aufgabe ist dann: Ich soll begründen, dass die positiven rationalen Zahlen, also folgende Menge:



abzählbar ist. Kann ich das Irgendwie ableiten aus dem vorigen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eher nicht. Während du bei der vorigen Abbildung eine echte Bijektion hattest, ist das bei



ja nicht der Fall: Es ist , d.h. und bilden auf dieselbe rationale Zahl ab, wir haben also keine Injektivität bei dieser Abbildung. Da musst du dir was anderes einfallen lassen. Augenzwinkern
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Aso smile

Trotzdem steht in der Aufgabenstellung, dass ich unter Verwendung der Abzählbarkeit von N_0 x N_0 argumentieren soll?
Wie kann ich das tun? verwirrt

Muss ich da die doppelten Paare auschließen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gewissermaßen ja, aber die sind ja nicht nur "doppelt": Nimmt man als Definitionsmenge dieser Abbildung nicht , sondern nur

,

dann ist , und die genannte Abbildung ist als Abbildung betrachtet dann doch bijektiv.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Gewissermaßen ja, aber die sind ja nicht nur "doppelt"
.

Was meinst du genau damit.
Wie ich es vertanden habe, könnte durch die Abbildung sowas wie \frac{1}{1}= \frac{2}{2} \frac{3}{3} entstehen. Das ist ja nicht bijektiv.

Deine Menge D schließt in der 2. Komponente 0 aus, weil man durch 0 nicht teilen darf. Deshalb das N.
Das ggT(p,q)=1 schließt dann diese Doppelung aus.


Dann ist D auch Teilemenge von N_0 x N. Und Teilmengen einer abzählbaren Menge sind doch wieder Abzählbar. Deshalb gilt das oder?

Warum ist dann noch N_0 x {1} Teilmenge von D. Was soll das ausdrücken?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Peter5774
Dann ist D auch Teilemenge von N_0 x N. Und Teilmengen einer abzählbaren Menge sind doch wieder Abzählbar.

Genaugenommen sind Teilmengen einer abzählbaren Menge zunächst mal nur höchstens (!) abzählbar, d.h., gegebenfalls auch nur endlich. Und um genau das hier auszuschließen, habe ich das "unten" noch mit angefügt. Was dann auch diese Frage

Zitat:
Original von Peter5774
Warum ist dann noch N_0 x {1} Teilmenge von D. Was soll das ausdrücken?

beantworten sollte. Augenzwinkern
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schließt das eingefügte das aus. Ich verstehe es nicht ganz leider verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehst du denn zumindest ? Das sollte eigentlich klar sein, weil 1 zu jeder ganzen Zahl teilerfremd ist.

Da die Menge abzählbar unendlich viele Elemente enthält, hat dann aufgrund dieser Inklusion auch mindestens so viele Elemente.

P.S.: Ist wirklich schauderhaft, wenn man das so auseinandernehmen muss, weil bei jedem winzigen Schritt "was soll das" genervt wird.
Peter5774 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Verstehst du denn zumindest ? Das sollte eigentlich klar sein, weil 1 zu jeder ganzen Zahl teilerfremd .

Ok das verstehe ich jetzt. Das heißt jetzt die Menge D ist dann abzählbar?
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