P(X1<c, X1+X2<c)?

08.11.2017, 14:06

Fredolin

P(X1<c, X1+X2<c)?

Hallo,

ein aussagekräftigerer Titel ist mir grad nicht eingefallen. Es geht darum: ich habe zwei voneinander unabhängige stetige ZV $\begin{eqnarray*} X_1,X_2 \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dass sowohl $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ als auch die Summe $\begin{eqnarray*} X_1+X_2 \end{eqnarray*}$ unter einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sind.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} P(X_1\leq c,X_1+X_2\leq c) = \int_{-\infty}^{c} \! P(X_1=k) \cdot P(X_2 \leq c-k) \, dk = \int_{-\infty}^{c} \! f_{X_1}(k) \cdot F_{X_2}(c-k) \, dk \end{eqnarray*}$ .

Allerdings halte ich $\begin{eqnarray*} P(X_1=k) \end{eqnarray*}$ für eine stetige ZV für Unsinn. Wie kann man das korrekt hinschreiben?

08.11.2017, 15:11

HAL 9000

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Normalerweise ein Fall für den Transformationssatz: Der liefert hier die Aussage $\begin{align*} f_{X_1,X_1+X_2}(t_1,t_2) = f_{X_1,X_2}(t_1,t_2-t_1) = f_{X_1}(t_1)\cdot f_{X_2}(t_2-t_1) \end{align*}$ , und damit

$\begin{align*} P(X_1\leq c,X_1+X_2\leq c) = \int\limits_{-\infty}^c \int\limits_{-\infty}^c f_{X_1,X_1+X_2}(t_1,t_2) ~ \dd t_2 ~ \dd t_1 = \int\limits_{-\infty}^c \int\limits_{-\infty}^c f_{X_1}(t_1)\cdot f_{X_2}(t_2-t_1) ~ \dd t_2 ~ \dd t_1 = \int\limits_{-\infty}^c f_{X_1}(t_1) \int\limits_{-\infty}^{c-t_1} f_{X_2}(x_2) ~ \dd x_2 ~ \dd t_1 = \int\limits_{-\infty}^c f_{X_1}(t_1) F_{X_2}(c-t_1) ~ \dd t_1 \end{align*}$ .

Dabei kennzeichne $\begin{align*} f_Y \end{align*}$ die Dichte und $\begin{align*} F_Y \end{align*}$ die Verteilungsfunktion der stetig verteilten Zufallsgröße $\begin{align*} Y \end{align*}$ .

D.h., deine Endformel ist richtig, auch wenn du dich zwischendurch notationsmäßig auf Glatteis bewegst. Möge dir diese Intuition erhalten bleiben! Augenzwinkern

09.11.2017, 09:54

Fredolin

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OK auf die Umformungen muss man erst mal kommen... verwirrt

Danke für die schnelle Antwort! Freude

09.11.2017, 10:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fredolin
OK auf die Umformungen muss man erst mal kommen...

Dazu ist wirklich kein Geniestreich nötig. Wie ich oben schon andeutete, bildet man den transformierten Vektor $\begin{align*} (Y_1,Y_2)=(X_1,X_1+X_2) \end{align*}$ - sollte naheliegend sein, schließlich will man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, was genau mit diesen beiden Komponenten $\begin{align*} X_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} X_1+X_2 \end{align*}$ definiert ist. Dessen Dichte $\begin{align*} f_{Y_1,Y_2}(t_1,t_2) = f_{X_1,X_2}(t_1,t_2-t_1) \end{align*}$ ist ein Ergebnis der Anwendung des Transformationssatzes. Der Rest, die Integralumformung, ist auch nur reines Handwerk.

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