Summe von Binomialkoeffizienten

08.11.2017, 15:48

Croomer

Summe von Binomialkoeffizienten

Meine Frage:
Hallo,

ich soll beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} = \frac{1}{2} 2^{2n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee war erst einmal, beide Seiten mit 2 zu multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} 2* \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich wie folgt umgeformt und den Binomischen Lehrsatz verwendet:
$\begin{eqnarray*} 2^{2n}=(1+1)^{2n}= \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} + 0 = \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} + (1-1)^{2n}=\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} +\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} *(-1)^{2n-k} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n-k} \end{eqnarray*}$ nur davon abhängt, ob (2n-k) gerade oder ungerade ist, kann ich es durch k erstetzen. (2n ist gerade, 2n-k ist gerade wenn k gerade ist und ungerade, wenn k ungerade ist)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} +\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} *(-1)^{k} \end{eqnarray*}$
Alle Summanden der 2. Summe mit ungeraden k sind also negativ, kommen aber in der 1. Summe positiv auch vor. Somit heben sich die Summanden mit ungeraden k von den beiden Summen auf, übrig bleiben die Summanden mit geraden k, also 2k:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} +\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}=2*\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass ich jetzt oben in der Summe 2n habe, aber ich brauche ja nur n :/

Ich kenn mich mit den Summenrechenregeln nicht so aus, wäre tell, wenn jemand helfen könnte.

EDIT: Mir ist gerade aufgefallen: Wenn ich alle Summanden mit ungeraden k "rauskürze" habe ich natürlich nurnoch halbsoviele Summanden, also anstatt 2n nurnoch n.
Somit also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} +\sum\limits_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix} 2n \\ k \end{pmatrix} *(-1)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} +\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Richtig?

08.11.2017, 16:09

Leopold

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RE: Summe von Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von Croomer
Wenn ich alle Summanden mit ungeraden k "rauskürze" habe ich natürlich nurnoch halbsoviele Summanden, also anstatt 2n nurnoch n.

Der eigentliche Grund ist doch, daß du $\begin{align*} k \end{align*}$ durch $\begin{align*} 2k \end{align*}$ substituiert hast, nachdem sich zuvor alle Glieder mit ungeradem Index gegenseitig weggehoben haben. Dann ist natürlich $\begin{align*} n \end{align*}$ die obere Summationsgrenze.

08.11.2017, 16:32

Croomer

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RE: Summe von Binomialkoeffizienten
Also wenn ich die Laufvariable *2 nehme, muss ich n durch 2 teilen?
Ist das immer so?

08.11.2017, 16:38

HAL 9000

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Vielleicht verwenden wir einfach mal zur Erklärung einen anderen Indexbuchstaben, dann wird deutlicher, was hier passiert:

Es geht um die Indizes $\begin{align*} k \end{align*}$ im Bereich $\begin{align*} 0\leq k\leq 2n \end{align*}$ , die gerade sind. Damit vollziehst du eine Indexsubstitution $\begin{align*} k=2m \end{align*}$ , für die dann natürlich auch weiterhin $\begin{align*} 0\leq 2m\leq 2n \end{align*}$ gelten muss, d.h., $\begin{align*} 0\leq m\leq n \end{align*}$ . Damit ist

$\begin{align*} \sum_{\substack{k=0\\k~\mathrm{gerade}}}^{2n} f(k) = \sum_{m=0}^n f(2m) \end{align*}$ .

Und dann kann man Index $\begin{align*} m \end{align*}$ rechts natürlich auch wieder $\begin{align*} k \end{align*}$ nennen, so man das mag. Augenzwinkern

08.11.2017, 16:58

Croomer

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Ah ok, so kann ich besser nachvollziehen, danke.

Damit stimmt mein Beweis ja, und ich weiß sogar warum Big Laugh

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