Parametrisierung von algebraischen Kurvengleichungen

Neue Frage »

Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung von algebraischen Kurvengleichungen
Meine Frage:
Hallo smile
Wir sollen die Parametergleichung folgender Kurve bestimmen:


Meine Ideen:
Kurven die "reine" quadratische Anteile haben kann ich parametrisieren, allerdings bereiten mit die gemischten Anteile große Probleme.
Ich vermute, die Darstellungsweise der Koeffizienten soll ein Hinweis darauf sein, dass man mit Matrizen arbeiten soll. Ich habe die Gleichung also mit Hilfe von Matrizen geschrieben:

und die Nullstellenmenge bestimmt:


Im Prinzip kann jener Teil der Matrix-Formel innerhalb der Klammern als Transformation mit Verschiebungsvektor interpretiert werden, oder? Also könnte man damit doch sicherlich die Auswirkungen der Koeffizienten auf die Kurve begründen, nicht? Wobei man natürlich sofort erkennt, dass (0,0) ein "Fixpunkt" der Kurve ist, weil er unabhängig von der Wahl der einzelnen Koeffizienten zu sein scheint.

Leider bin ich mit der Parametrisierung trotzdem noch überfordert. Kann mir jemand einen Hinweis geben, in welche Richtung ich weiterdenken soll?
Danke vielmals!
LG smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lady1234,

naja, ich sag mal so - die Kurve ist wirklich sehr allgemein gehalten. Mit den ganzen a's kann man noch nicht mal zunächst herausfinden, ob es sich um eine Ellipse, Hyperbel, etc. (whatever) handelt.

Du könntest die Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder pq-Formel nach y umstellen und dann als eine erste Parametrisierung (x, y(x)) wählen. Dürfte wahrscheinlich nicht besonders schön, oder nicht durchgängig definiert sein. Dann könntest du von dort aus versuchen, x durch irgendetwas anderes zu ersetzen, sodass y(x) schöner wird.

LG
sibelius84
Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Sibelius! Danke für Deine Antwort smile

Zitat:
Original von sibelius84
naja, ich sag mal so - die Kurve ist wirklich sehr allgemein gehalten. Mit den ganzen a's kann man noch nicht mal zunächst herausfinden, ob es sich um eine Ellipse, Hyperbel, etc. (whatever) handelt.


Leider ja-ich dreh durch Hammer Augenzwinkern

Zitat:
Original von sibelius84
Du könntest die Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder pq-Formel nach y umstellen und dann als eine erste Parametrisierung (x, y(x)) wählen. Dürfte wahrscheinlich nicht besonders schön, oder nicht durchgängig definiert sein. Dann könntest du von dort aus versuchen, x durch irgendetwas anderes zu ersetzen, sodass y(x) schöner wird.


Gut, hab ich gemacht (sieht sogar sehr schön aus, weil es komplett unabhängig von den a's ist Big Laugh ), vorausgesetzt, ich hab mich nicht verrechnet: = (x,y(x))

Darf ich das dann einfach als Definitionsbereich wählen?
Liebe Grüße smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lady1234
Gut, hab ich gemacht (sieht sogar sehr schön aus, weil es komplett unabhängig von den a's ist Big Laugh ), vorausgesetzt, ich hab mich nicht verrechnet: = (x,y(x))


Das kommt mir aber sehr spanisch vor, ich denke, du müsstest da jede Menge relativ eklige Bruchterme mit a's haben.
Lady1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Das kommt mir aber sehr spanisch vor, ich denke, du müsstest da jede Menge relativ eklige Bruchterme mit a's haben.


Mir kommt's auch spanisch vor wenn ich die Werte einsetze unglücklich Ich habs jetzt mit dem CAS gerechnet, mit folgendem Ergebnis:

=: (x,y(x))

Damit hätte ich meine Parameterdarstellung eigentlich, oder? Also:
R-->R^2, x --> (x, y(x))
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch ja, außer: +/- ist keine eindeutige Funktionsangabe. Hier müsstest du dann die Parametrisierung so anpassen, dass du einen Teil für "+" und einen Teil für "-" hast und zB in der Mitte des Parameterintervalls der Kurve der Wechsel vollzogen wird.
Praktisch würde ich mich mühen, das noch ein wenig schöner hinzubekommen. Ob die Umformung ohne Angabe von Zwischenschritten bepunktet wird (falls es sich um eine Abgabe handelt), weiß ich nicht. Ich würde meine Hand nicht dafür ins Feuer legen wollen.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »