61 soll Term teilen

08.11.2017, 22:21

Croomer

61 soll Term teilen

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekomme:

$\begin{eqnarray*} 5^{3n}-3^{n} \end{eqnarray*}$ soll für alle n aus den nat. Zahlen teilbar sein.

Meine Ideen:
Der erste Gedanke war: Ich mache es wie bei den Mersenne-Zahlen:

$\begin{eqnarray*} 5^{3n}-3^{n}=k61 \end{eqnarray*}$ mit k aus den nat. Zahlen
$\begin{eqnarray*} (5^{3n}-3^{n})*(5^{3n}+3^{n})=k61*(5^{3n}+3^{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5^{3n}-3^{n})*(5^{3n}+3^{n})=k61*(5^{3n}+3^{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5^{6n}-3^{2n})=k61*(5^{3n}+3^{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5^{6}-3^{2})(5^{n}+3^{n})=k61*(5^{3n}+3^{n}) \end{eqnarray*}$

Und da scheitert meine "Idee" auch schon, das hilft mir auch nicht weiter...

Hat jemand vielleicht nen Ansatz der mich in die richtige Richtung lenken könnte?

Edit: Aufgefallen ist mir auch, dass $\begin{eqnarray*} 5^{3n}-3^{n} \end{eqnarray*}$ gerade ist, also muss k ein Vielfaches von 2 sein.

08.11.2017, 22:35

sibelius84

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Hast du es schon mal mit Induktion probiert?

Wenn du im Induktionsschritt Teile kriegst, die durch 61 teilbar sind, dann kannst du die einfach weglassen und hierfür die Notation $\begin{eqnarray*} \equiv_{61} \end{eqnarray*}$ verwenden, Code ist \equiv_{61}. Das nennt man "kongruent modulo 61", kennst du evtl schon?

Grüße
sibelius84

08.11.2017, 22:50

Croomer

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Diese Notation kenne ich leider noch nicht.

also ich habs mal mit Induktion versucht:

Beweis per vollständiger Induktion über n.

IA: Für n=1 gilt:
$\begin{eqnarray*} 5^{3}-3=122=2*61=k*61 ; k=2 \end{eqnarray*}$
IV: Für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gelte:
$\begin{eqnarray*} 5^{3n}-3^{n}=k*61 ; k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
IS: n -> n+1
$\begin{eqnarray*} 5^{3n+3}-3^{n+1}=(5^{3}+3^{1})*(5^{3n}-3^{n}) =(laut IV)=(5^{3}+3^{1})*k_{1}*61=(128k_{1})*61=k61 \end{eqnarray*}$ mit k= $\begin{eqnarray*} (128k_{1}) \end{eqnarray*}$ , dieses k ist aus den nat. Zahlen, da $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ und 128 eine nat. Zahl ist und somit deren Produkt auch eine nat. Zahl ist.
Somit ist auch $\begin{eqnarray*} (5^{3n+3}-3^{n+1}) \end{eqnarray*}$ durch 61 teilbar.

Das bedeutet, dass die Aussage für alle n aus den nat. Zahlen wahr ist.

Stimmt das so?
Ich bin garnicht auf die Idee gekommen, das mit der vollständigen Induktion zu machen.

08.11.2017, 22:56

sibelius84

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Zitat:

Original von Croomer
IS: n -> n+1
$\begin{eqnarray*} 5^{3n+3}-3^{n+1}=(5^{3}+3^{1})*(5^{3n}-3^{n}) =... \end{eqnarray*}$

So darf man nicht ausklammern. Du musst die 5^3 und die 3^1 schon einzeln behandeln.

08.11.2017, 23:11

Croomer

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Verdammt, das stimmt. Das geht ja nur wenn ich dann (3n+3)/2 und (n+1)/2 rausziehen würde, aber dann passt auch meine 2. Klammer nicht mehr für die Induktionsvorraussetzung.

Aber wie kann ich das dann umformen, damit ich eine Klammer mit $\begin{eqnarray*} (5^{3n}-3^{n}) \end{eqnarray*}$ dastehen habe?

09.11.2017, 16:47

sibelius84

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Du musst dir dein 5^(3n+3)-3^(n+1) einfach mal hernehmen und anfangen, damit (nach Möglichkeit korrekte) Umformungen auszuführen. Natürlich ist es immer wichtig, das Ziel vor Augen zu haben. Aber Korrektheit steht an erster Stelle. In keinem Gesetz steht geschrieben, dass du nach drei Umformungsschritten das Ergebnis da stehen haben musst. Einfach mal anfangen und gucken, was geht. (Tipp: Potenzgesetze!)

Deine IV lautet: '5^(3n)-3^n ist durch 61 teilbar.'
Das heißt, sobald du im Laufe deiner Rechnung einen solchen Term bzw. ein Vielfaches davon entdeckst, kannst du es quasi weglassen bzw. hinschreiben "Es bleibt zu zeigen, dass nur *Rest* durch 61 teilbar ist."

09.11.2017, 16:59

Mathema

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Was spricht denn gegen $\begin{eqnarray*} 5^{3n}=(5^3)^n=125^n\equiv3^n\mod 61 \end{eqnarray*}$ ?

Eine Induktion scheint mir da ziemlich überflüssig zu sein.

09.11.2017, 17:00

Leopold

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Zwischenruf (Alternative):

$\begin{align*} x^n - y^n = (x-y) \cdot \left( x^{n-1} + x^{n-2} y + \ldots + x y^{n-2} + y^{n-1} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} x=125, \, y = 3 \end{align*}$

09.11.2017, 17:15

sibelius84

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Zitat:

Original von Mathema
Was spricht denn gegen $\begin{eqnarray*} 5^{3n}=(5^3)^n=125^n\equiv3^n\mod 61 \end{eqnarray*}$ ?

Eine Induktion scheint mir da ziemlich überflüssig zu sein.

Croomer kennt modulo-Rechnung noch nicht. Kann man umrunden, indem man sagt "es bleibt zu zeigen, dass...".

@Leopold - nette Alternative! Wäre die Frage, ob die geometrische Summenformel bereits zur Verfügung steht, zumindest die endliche.

09.11.2017, 19:54

Croomer

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@Mathema Die modulo-Rechnung kenne ich - wie sibelius84 schon gesagt hat - leider nicht.
@Leopold Wir dürfen leider nur verwendet, was wir in der Vorlesung hergeleitet haben, die geometrische Summenformel dürfen wir damit leider nicht verwenden.

Zitat:

Original von sibelius84
Du musst dir dein 5^(3n+3)-3^(n+1) einfach mal hernehmen und anfangen, damit (nach Möglichkeit korrekte) Umformungen auszuführen.

Das "einfach mal hernemen und anfangen" hat bei mir den Schalter umgelegt:
$\begin{eqnarray*} 5^{3(n+1)}-3^{n+1}=5^{3}5^{3n}-3*3^{n}=5^{3}5^{3n} -5^{3}3^{n} +5^{3}3^{n} -3*3^{n}=5^{3}*(5^{3n}-3^{n}) + 3^{n}(5^{3}-3) \end{eqnarray*}$
Also laut IV
$\begin{eqnarray*} 5^{3}*61k + 3^{n}2*61 \end{eqnarray*}$
Also sind beide Summanden durch 61 teilbar, also auch die Summe selbst.

09.11.2017, 20:16

sibelius84

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...und da war sie wieder, die kluge Null. Tanzen

09.11.2017, 21:16

Leopold

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Zitat:

Original von Croomer
@Leopold Wir dürfen leider nur verwendet, was wir in der Vorlesung hergeleitet haben, die geometrische Summenformel dürfen wir damit leider nicht verwenden.

Du tust ja so, als ob da eine tiefere, sich über mehrere Vorlesungsstunden erstreckende Theorie dahintersteckte. Dabei ist das nur ausmultiplizieren und nachrechnen.
Aber nichts gegen die Induktion, wenn die hier geübt werden soll.

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