Exakte DGL

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08.11.2017, 22:52

Bash33

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Exakte DGL

Guten Abend alle zusammen .
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen ?
Habe noch keine Ansätze

09.11.2017, 09:05

Huggy

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RE: Exakte DGL
Du kennst doch sicher ein Kriterium für die Exaktheit einer DGL. Wende es an! Außerdem kann man die DGL in eine DGL mit getrennten Veränderlichen umschreiben. In der Form ist sie leicht zu lösen.

09.11.2017, 09:49

Bash33

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Da muss man doch irgendwie Stammfunktion berechnen oder ?
Genauer habe ich es nicht verstanden Big Laugh

09.11.2017, 09:58

Huggy

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Hast du keine Aufzeichnungen oder ein Skript? Dann lies dir mal das durch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Differentialgleichung

Die DGL heißt exakt, wenn es eine Funktion $\begin{eqnarray*} F(x,y) \end{eqnarray*}$ mit der dort genannten Eigenschaft gibt. Um das zu zeigen, musst du aber nur die beiden Teilfunktionen in der DGL ableiten.

09.11.2017, 10:09

Bash33

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Leite mal den ersten Summanden nach x ab :
$\begin{eqnarray*} 3x^3*(x^4+1)^{-1/2}*(ln(y)+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9x^2*-1/2*(x^4+1)*4x^3*1/y \end{eqnarray*}$

geht es so klar?

09.11.2017, 10:20

Huggy

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Zitat:

Original von Bash33
Leite mal den ersten Summanden nach x ab

Schau noch mal nach, welcher Summand nach was abgeleitet werden muss!

P.S. Muss jetzt weg.

09.11.2017, 11:36

Bash33

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Hmm komme nicht auf den Fehler .

Kannst ja wenn du zurück bist , kurz einen Tipp geben wo der Fehler liegt ?

09.11.2017, 12:02

Bash33

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$\begin{eqnarray*} 3x^3*(x^4+1)^{-1/2}*(ln(y)+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9x^2*-1/2*(x^4+1)*4x^3-3/2*(x^4+1)*4x^3 \end{eqnarray*}$

Ich glaube das ich meinen Fehler gefunden hab .

Stimmt der komplette Term nach x abgeleitet ?

09.11.2017, 17:09

der fette Schönbohm

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Zitat:

Stimmt der komplette Term nach x abgeleitet ?

Nein,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3x^3*(x^4+1)^{-1/2}*(ln(y)+2) \end{eqnarray*}$

nach x abgeleitet ergibt nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 9x^2*-1/2*(x^4+1)*4x^3-3/2*(x^4+1)*4x^3 \end{eqnarray*}$

. Die Ableitung nach x war aber auch gar nicht gefragt, um die Exaktheit zu zeigen.

09.11.2017, 19:34

sibelius84

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Hallo zusammen,

@Bash33, nehmen wir mal als Beispiel die DGL

$\begin{eqnarray*} x + 2yy' = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x+2y\frac{dy}{dx} = 0 \end{eqnarray*}$ . Wir stellen die formalen Bedenken mal beiseite (das macht man bei DGLen manchmal - um die Verifikation bzw. Legitimation kann man sich ja anschließend kümmern, zB durch Probe / Einsetzen), multiplizieren sorglos mit dx und erhalten

$\begin{eqnarray*} x\,dx + 2y\,dy = 0 \end{eqnarray*}$ .

Da ich mal vermute, dass du das totale Differential noch nicht kennst (oder?), daher versuche ich das mal so zu erklären:
Woher kennen wir nun einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} x\, dx \end{eqnarray*}$ ? Mir würde da einfallen: Für $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{df}{dx} = x \end{eqnarray*}$ , bzw.
$\begin{eqnarray*} df=x\,dx \end{eqnarray*}$ . Analog gilt für $\begin{eqnarray*} g(y):=y^2 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} dg=y\,dy \end{eqnarray*}$ .
Also: $\begin{eqnarray*} df+dg=x\,dx+y\,dy\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$ .

Man kann sich nun fragen, ob, analog zu "Ableitung der Summe = Summe der Ableitungen", auch noch "d(f+g)=df+dg" gilt.
Grund genug, mal die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x,y):=f(x)+g(y)=\frac{1}{2}x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.
Wenn man diesen merkwürdigen "Ableitungsoperator" d auf sie anwendet, soll 0 rauskommen. Da soll sich also nichts verändern, sprich: sie soll konstant sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2+y^2 = c \end{eqnarray*}$ , zweckmäßigerweise c >= 0.

Wenn du diese Gleichung nun nach y umformst, kannst du durch Einsetzen feststellen, dass das, was rauskommt, tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung ist.

---

Noch etwas nachgeschobene Begründung:

Veränderst du im Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ein vorgegebenes x um ein - sehr sehr kleines - dx, so verändert sich approximativ näherungsweise der Wert des Terms um x·dx.
Veränderst du im Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ein vorgegebenes y um ein - sehr sehr kleines - dy, so verändert sich approximativ näherungsweise der Wert des Terms um 2y·dy.
Bleibt nun der Wert des Terms konstant, so bedeutet das gerade, dass diese beiden Änderungen sich wieder ausgleichen: x·dx + 2y·dy = 0.

LG
sibelius84

10.11.2017, 09:02

Huggy

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Zitat:

Original von Bash33
Stimmt der komplette Term nach x abgeleitet ?

Es sieht nicht so aus, dass du dir viel Mühe gibst. Mit den Bezeichnungen aus der Wikipedia hat man

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=3x^3\sqrt{x^4+1}(\ln y+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(x,y)=\frac {1}{2y}\sqrt{(x^4+1)^3} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial p}{\partial y}=\frac {\partial q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne noch mal die richtigen Ableitungen und du wirst sehen, dass die Gleichheit gegeben ist.

11.11.2017, 11:43

Bash33

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Soll ich beide Gleichungen einmal nach x und einmal nach x ableiten ?

Oder wie genau ?
Weil ich hatte ja bereits meine Ableitungen gepostet

11.11.2017, 12:01

Huggy

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Du hast trotz aller Hinweise immer nach der falschen Variablen abgeleitet. In meiner letzten Antwort steht doch exakt, welchen Term du nach x und welchen Term du nach y ableiten sollst. Du musst die Hilfestellungen, die man dir gibt, auch mal richtig durchlesen.

12.11.2017, 11:34

Bash33

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$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}= \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dx}= -6x^3*(x^4+1) \end{eqnarray*}$

Stimmt es so jetzt?

12.11.2017, 12:08

Huggy

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Es ist zwecklos! Ich gebe auf. unglücklich

12.11.2017, 13:37

Bash33

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Ja aber wo liegt denn der Fehler?

12.11.2017, 17:55

Apple by bye

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Hallo Bash33.

Zitat:

Huggy schrieb in matheboard.de/thread.php?postid=2111456#post2111456 am 10.11.2017 um 09:02 Uhr:
Mit den Bezeichnungen aus der Wikipedia hat man
$\begin{eqnarray*} p(x,y)=3x^3\sqrt{x^4+1}(\ln y+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(x,y)=\frac {1}{2y}\sqrt{(x^4+1)^3} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial p}{\partial y}=\frac {\partial q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen in

Zitat:

Original von Bash33
$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dy}= \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{dx}= -6x^3*(x^4+1) \end{eqnarray*}$

Stimmt es so jetzt?

sind falsch. Bitte bilde (auch zur Übung) vorher die Ableitungen $\begin{align*} \frac {\partial g}{\partial y}, \frac {\partial h}{\partial y}, \frac {\partial k}{\partial y} und \frac {\partial k}{\partial x} \end{align*}$ , wobei
$\begin{align*} g(x,y)=4*(\ln y+2) h(x,y)=5*(\ln y+2) k(x,y)=x^2*(\ln y+2) \end{align*}$
gegeben seien.

Optional noch: $\begin{align*} \frac {\partial m}{\partial x}, \frac {\partial m}{\partial y}, \frac {\partial n}{\partial x} und \frac {\partial m}{\partial y} \end{align*}$ für
$\begin{align*} m(x,y)=3x^3\sqrt{x^4+1}^3 n(x,y)=3x^3\sqrt{x^4+1} y^3 \end{align*}$

12.11.2017, 19:13

sibelius84

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Ok, nochmal anders:

Bei exakten Differentialgleichungen stellt man sich vor, man hätte eine Funktion f(x,y), und deren Ableitung nach x wäre das erste, und deren Ableitung nach y wäre das hintere (vor dem y').

Also: Das Vordere ist schon nach x abgeleitet worden, und das Hintere ist schon nach y abgeleitet worden.

Nun will man testen, ob es wirklich so ein f(x,y) wie oben beschrieben gibt. Denn das ist ja im Zweidimensionalen nicht selbstverständlich! Aber wie kann man das testen?

Nun: Wenn es so ein f(x,y) gibt, dann gilt ja für die Hessematrix

$\begin{eqnarray*} H_f = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Oben rechts steht das gleiche wie unten links, weil $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ .

Also nimmt man sich das, was schon nach x abgeleitet wurde (das linke), und leitet es nach y ab; und danach nimmt man sich das, was schon nach y abgeleitet wurde (das rechte) und leitet es nach x ab. Wenn dasselbe rauskommt, kann man schließen, dass es so eine Funktion f(x,y) wie oben beschrieben gibt, und hat damit dann gezeigt, dass die DGL exakt ist.

Ergo:
Das linke nach y,
und das rechte nach x ableiten.

13.11.2017, 09:15

Huggy

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Zitat:

Original von Bash33
Ja aber wo liegt denn der Fehler?

Der Fehler liegt nach meiner ehrlichen Überzeugung darin, dass du nicht die geringste Begabung für Mathematik hast. Das wirst du jetzt sicher als bösartige Bemerkung ansehen. Aber du solltest dich trotzdem mal fragen, ob das Mathematikstudium das Richtige für dich ist.

Da ich in dem Thread angefangen habe zu antworten, will ich den ersten Teil wenigstens zu Ende bringen. Ich überlasse es dann anderen Helfern weiterzumachen.

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=3x^3\sqrt{x^4+1}(\ln y+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial p}{\partial y}=\frac {\partial }{\partial y}\left (3x^3\sqrt{x^4+1}(\ln y+2)\right )=3x^3\sqrt{x^4+1}\frac {\partial }{\partial y}(\ln y+2)=\frac {3x^3\sqrt{x^4+1}}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(x,y)=\frac {1}{2y}\sqrt{(x^4+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial q}{\partial x}=\frac {\partial }{\partial x}\left (\frac {1}{2y}\sqrt{(x^4+1)^3}\right )= \frac {1}{2y}\frac {\partial }{\partial x}\sqrt{(x^4+1)^3}=\frac {1}{2y}\frac 3 2 \sqrt{(x^4+1)}4x^3=\frac {3x^3\sqrt{x^4+1}}{y} \end{eqnarray*}$

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