hilfe bei linearer Unabhängigkeit

09.11.2017, 16:07	geek1989	Auf diesen Beitrag antworten »
hilfe bei linearer Unabhängigkeit Meine Frage: hey Leute, ich habe die Aufgabe: Zeigen Sie: Sind p, q verschiedene Primzahlen, so sind 1, wurzelp,wurzelq linear unabhängig über Q (als Q-Vektorraum betrachtet Meine Ideen: Ich hab jetzt schon a+bwurzel p= -cWurzel q Das ganze hab ich quadriert und für den Fall a = 0 betrachtet,aber jetzt fehlt mir irgendwie das Wissen, was mir jetzt b^2p = c^2q sagen soll
09.11.2017, 16:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal langsam: Lineare Unabhängigkeit heißt hier, dass für rationale $\begin{align} a,b,c \end{align}$ aus $\begin{align} a+b\sqrt{p}+c\sqrt{q}=0 \end{align}$ dann $\begin{align} a=b=c=0 \end{align}$ folgen muss. Eine kurze Überlegung ergibt, dass zu jedem rationalen Lösungstripel durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der drei auch ein ganzzahliges Lösungstripel gehört, damit können wir o.B.d.A. sogar $\begin{align} a,b,c \end{align}$ als ganzzahlig annehmen, im Fall $\begin{align} (a,b,c)\neq (0,0,0) \end{align}$ zusätzlich auch o.B.d.A. als teilerfremd. Der von dir betrachtete Fall $\begin{align} a=0 \end{align}$ führt auf $\begin{align} b^2p=c^2q \end{align}$ , ja. Daraus folgt $\begin{align} q\mid b \end{align}$ und folglich mit $\begin{align} b=b'q \end{align}$ dann $\begin{align} b'^2pq=c^2 \end{align}$ , daraus wiederum $\begin{align} q\mid c \end{align}$ . Das aber ist ein Widerspruch zur Teilerfremdheit $\begin{align} a,b,c \end{align}$ , denn alle drei besitzen den gemeinsamen Teiler $\begin{align} q>1 \end{align}$ .

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