Wann geht der Limes gegen 0, wann gegen unendlich?

09.11.2017, 16:29

MatheMarco

Wann geht der Limes gegen 0, wann gegen unendlich?

Meine Frage:
Das ziel ist es ein p(n) zu finden sd der limes von n gegen unendlich des folgenden term für p>>p(n) gegen unendlich und für p<<p(n) gegen 0 geht.
Der Term ist $\begin{eqnarray*} E(X) = \begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix} \cdot \frac{m!}{(3!)^{m/3}} \cdot \frac{1}{(\frac{m}{3} )!} \cdot p^{3m} \end{eqnarray*}$ , wobei m = (1- q) n, q zwischen 0 und 1.

Meine Ideen:
Ich habe schon einige Umformungen probiert, komme aber nicht weiter.

09.11.2017, 16:43

HAL 9000

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OK, das ganze soll also bei festem $\begin{align*} q\in (0,1) \end{align*}$ betrachtet werden, d.h., beim Grenzübergang $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ passiert parallel auch der Grenzübergang $\begin{align*} m\to\infty \end{align*}$ in der Weise $\begin{align*} \frac{m}{n}\to q \end{align*}$ .

Schon mal mit Stirling versucht die Fakultäten zu beseitigen?

EDIT: Soweit ich das erkenne, divergiert der Term stets bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ , solange man $\begin{align*} p>0 \end{align*}$ wählt. Vielleicht hast du dich irgendwo verschrieben? verwirrt

EDIT2: Achso, $\begin{align*} p \end{align*}$ soll im Grenzübergang also auch noch von $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängen. Das Anliegen hättest du aber wirklich etwas besser darstellen müssen. unglücklich

09.11.2017, 16:54

MatheMarco

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Genau.

Stirling habe ich schon probiert. Doch dann kriege ich die verschiedenen Wurzelterme und Potenzen nicht mehr weg.

09.11.2017, 16:57

HAL 9000

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Und warum enthältst du die dabei gewonnenen Erkenntnisse uns vor? "Lass die erstmal rechnen, ich schaue zu", oder was?

09.11.2017, 17:12

MatheMarco

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Es gibt halt wircklich nicht so einen schönen Term.
Hier ist er ich habe $\begin{eqnarray*} n! \sim \sqrt{2 \pi n} n^{n}/e^{n} \end{eqnarray*}$ verwendet dann kriege ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-m} \sqrt{m/3}\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-m+m/3} \cdot \frac{n^{n}}{(n-m)^{(n-m)}(m/3)^{(m/3)}} \cdot \frac{1}{6^{m/3}}\cdot p^{3m} \end{eqnarray*}$

09.11.2017, 17:16

HAL 9000

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In logarithmierter Form scheint mir das ganze zugänglicher. Und natürlich solltest du auch noch $\begin{eqnarray*} m=(1-q)n \end{eqnarray*}$ einsetzen, bevor du das Verhalten für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bewerten kannst.

Btw: Was genau bedeutet hier

Zitat:

Original von MatheMarco
der limes von n gegen unendlich des folgenden term für p>>p(n) gegen unendlich und für p<<p(n) gegen 0 geht.

dieses $\begin{align*} p\ll p(n) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} p\gg p(n) \end{align*}$ ? Ich würde es mal unter Verwendung der Landau-Symbole (bezogen auf $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ ) so auffassen:

Finde ein $\begin{align*} p(n) \end{align*}$ (das ist beileibe nicht eindeutig!) mit

a) Für alle $\begin{align*} p_1(n)\in o(p(n)) \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \lim_{\substack{n\to\infty\\ \frac{m}{n}\to 1-q}} \binom{n}{m} \cdot \frac{m!}{(3!)^{m/3}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{m}{3}\right)!} \cdot (p_1(n))^{3m} = 0 \end{align*}$ .

b) Für alle $\begin{align*} p_2(n)\in \omega(p(n)) \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \lim_{\substack{n\to\infty\\ \frac{m}{n}\to 1-q}} \binom{n}{m} \cdot \frac{m!}{(3!)^{m/3}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{m}{3}\right)!} \cdot (p_2(n))^{3m} = \infty \end{align*}$ .

EDIT: Falls es dich noch interessiert, eine mögliche Wahl im Sinne a),b) wäre dann $\begin{align*} p(n) = n^{-\frac{2}{9}} \end{align*}$ .

10.11.2017, 15:22

MatheMarco

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Ja das ist ist so gedacht.
Wie kommst du dann auf $\begin{eqnarray*} p(n) = n^{-2/9} \end{eqnarray*}$ ?

10.11.2017, 16:52

HAL 9000

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Ich bezeichne mal

$\begin{align*} f_k(n,m) := \ln\left\{ \binom{n}{m} \cdot \frac{m!}{(3!)^{m/3}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{m}{3}\right)!} \cdot (p_k(n))^{3m} \right\} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,2 \end{align*}$ bzw. "ganz ohne" $\begin{align*} k \end{align*}$ (d.h. dann p(n) zugeordnet f(n,m)).

Dann gilt mit Stirling sowie Einbeziehung passender Landau-Symbole (um den Stirling-Fehler zu bewerten)

$\begin{align*} f_k(n,m) &= \ln(n!) - \ln((n-m)!) - \frac{m}{3}\ln(6) - \ln\left(\left(\frac{m}{3}\right)!\right) + 3m\ln(p_k(n))\\ &= \left(n+\frac{1}{2}\right)\ln(n)-n - \left(n-m+\frac{1}{2}\right)\ln(n-m) +n-m-\frac{1}{2}\ln(2\pi)- \left(\frac{m}{3}+\frac{1}{2}\right)\ln\left(\frac{m}{3}\right) +\frac{m}{3}+ 3m\ln(p_k(n)) +O\left(\frac{1}{n}\right)+O\left(\frac{1}{m}\right) \end{align*}$ .

Jetzt können wir radikal zusammenstreichen, wenn wir alle vergleichsweise kleinen Terme in Landau $\begin{align*} O(n) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} O(m) \end{align*}$ zusammenfassen:

$\begin{align*} f_k(n,m) &= n\ln(n) - (n-m)\ln(n-m) -\frac{m}{3}\ln(m) + 3m\ln(p_k(n)) + O(n) + O(m) \end{align*}$ .

Jetzt nutzen wir noch $\begin{align*} \frac{m}{n}\to (1-q) \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ und schrumpfen das damit noch weiter ein

$\begin{align*} f_k(n,m) &= n(1-q)\left[ \frac{2}{3}\ln(n)+ 3\ln(p_k(n)) + O(1) \right] \end{align*}$ .

Und nun wähle ich einfach $\begin{align*} p(n) \end{align*}$ so, dass die eckige Klammer (mit Ausnahme des Landau O(1)) gleich Null wird, d.h. $\begin{align*} {\color{red}p(n) = n^{-\frac{2}{9}}} \end{align*}$ . Wieso sind dann a),b) oben erfüllt?

a) $\begin{align*} p_1(n)\in o(p(n)) \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} \ln(p_1(n)) = \ln(p(n)) + a_n \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = -\infty \end{align*}$ . Es folgt

$\begin{align*} f_1(n,m) = n(1-q)\left[ \frac{2}{3}\ln(n)+ 3\ln(p_1(n)) + O(1) \right] = n(1-q)\left[ a_n + O(1) \right] \to -\infty \end{align*}$ ,

und damit $\begin{align*} E(X) = \exp\left(f_1(n,m)\right) \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ .

b) $\begin{align*} p_2(n)\in \omega(p(n)) \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} \ln(p_2(n)) = \ln(p(n)) + b_n \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} b_n = \infty \end{align*}$ . Es folgt

$\begin{align*} f_2(n,m) = n(1-q)\left[ \frac{2}{3}\ln(n)+ 3\ln(p_2(n)) + O(1) \right] = n(1-q)\left[ b_n + O(1) \right] \to \infty \end{align*}$ ,

und damit hier $\begin{align*} E(X) = \exp\left(f_2(n,m)\right) \to \infty \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ .

11.11.2017, 00:14

MatheMarco

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Genial.
Herzlichen Dank.

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