Trigonometrische Formel umstellen

09.11.2017, 17:34

TimGast

Trigonometrische Formel umstellen

Meine Frage:
Guten Abend,

folgende Formel würde ich gerne umstellen:

U = 1/cos(b) - cos(b)

Damit ich aus einem gegenen U wieder b errechnen kann.

Meine Ideen:
In der Hilfe einer Tabelle mit trigometrischen Beziehungen konnte ich folgendes herausfinden:

1/cos(b) - cos(b) = tan(b) - sin(b) = U

Nur weiß ich leider nicht weiter. Die Lösung aus Wolfram Alpha kann ich leider nicht nachvollziehen. Kann mir hier jemand einen Ansatz nennen?

09.11.2017, 18:32

klauss

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RE: Trigometrische Formel umstellen
Mein Vorschlag:
Wenn Dich das cos(b) irritiert, versuche doch zunächst die Lösungen für x der Gleichung
$\begin{align*} U=\frac{1}{x}-x \end{align*}$
zu bestimmen.
Welche Folgerungen dann nach Rücksubstitution cos(b) = x für b zu ziehen sind, bleibt ergänzenden Überlegungen vorbehalten.

09.11.2017, 18:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von TimGast
1/cos(b) - cos(b) = tan(b) - sin(b)

Wo hast du das denn her? unglücklich

Womöglich meinst du

1/cos(b) - cos(b) = tan(b) * sin(b)

das kommt schon eher hin! Hilft hier aber eher nicht weiter, der Vorschlag von klauss ist besser.

10.11.2017, 11:14

TimGast

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Zitat:

Womöglich meinst du 1/cos(b) - cos(b) = tan(b) * sin(b)

Ja! Entschuldige bitte den Tippfehler Hammer

Also ich habe das jetzt mal so gemacht:

$\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{x} - x \end{eqnarray*}$ | auf selben Nenner bringen

$\begin{eqnarray*} u= \frac{1}{x} - \frac{x^2}{x} = \frac{1-x^2}{x} \end{eqnarray*}$ | *x

$\begin{eqnarray*} u * x = 1-x^2 \end{eqnarray*}$ | Umstellen +x^2

$\begin{eqnarray*} u * x + x^2 = 1 \end{eqnarray*}$ | Quadratische Ergänzung mit (u/2)^2

$\begin{eqnarray*} u * x + x^2 + (\frac{u}{2})^2= 1 + (\frac{u}{2})^2 \end{eqnarray*}$ | Binomische Formel nutzen und Quadratwurzel ziehen

$\begin{eqnarray*} x + (\frac{u}{2})= \pm \sqrt{ (\frac{u}{2})^2 +1} \end{eqnarray*}$ | Umstellen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = - (\frac{u}{2}) \pm \sqrt{ (\frac{u}{2})^2 +1} \end{eqnarray*}$

Jetzt ersetze ich (mit meinem jugendlichen Leichtsinn Tanzen

) das x durch cox (x) und bilde arccos(x)

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \cos^{-1}(- (\frac{u}{2}) \pm \sqrt{ (\frac{u}{2})^2 +1 }) \end{eqnarray*}$

Die Proberechnungen stimmen aber ist das so richtig bzw. darf man das x einfach so durch cos(x) ersetzen?

Vielen Dank!

Tim

10.11.2017, 11:25

HAL 9000

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Von Anfang an war klar $\begin{align*} x=\cos(b) \end{align*}$ , das war ja die Idee (Substitution) von klauss. Mit Rücksubstitution kommt man zum Wert $\begin{align*} b \end{align*}$ - ob das nun gerade $\begin{align*} \arccos(x) \end{align*}$ ist, hängt vom Definitionsintervall deiner $\begin{align*} b \end{align*}$ ab. Sofern das das Intervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ ist, ist das mit dem $\begin{align*} b=\arccos(x) \end{align*}$ schon Ok.

Zu beachten ist noch, dass $\begin{align*} \arccos(x_k) \end{align*}$ nur für reelle $\begin{align*} k \end{align*}$ mit $\begin{align*} |x_k|\leq 1 \end{align*}$ gebildet werden kann. Im Fall $\begin{align*} u\neq 0 \end{align*}$ trifft das auf genau einen der beiden Werte $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ zu, für den jeweils anderen gilt dagegen $\begin{align*} |x_k|>1 \end{align*}$ , und der ist nicht zu gebrauchen. Man kann in Abhängigkeit des Vorzeichens von $\begin{align*} u \end{align*}$ sogar genau eingrenzen, welche der beiden x-Lösungen zu gebrauchen ist und welche nicht. Augenzwinkern

10.11.2017, 11:44

TimGast

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Ok, prima, da kann ich super mit leben!

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