Menge Kongruenzklassen

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NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge Kongruenzklassen
Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Mengendefinition
Es geht um die Menge der Kongruenzklassen:

Z/qZ =

Was soll das a genau sein
Wenn ich z.b die Restklasse anschaue.
Was is dann mein a ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesmile
In diesem Thema habe ich ein Verständnisproblem:
Es geht um das Lemma: In Z gibt es q Kongruenzklassen modulo q
Beweis:
Division mit Rest ergibt für mit n aus Z.
d.h (Warum gilt das?)
Die klassen sind disjunkt, weil es sich ja um eine Äquivalenzklasse handelt.
, q teilt nicht (b-a)
Warum gilt diese Ungleichung?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist falsch, richtig ist:
Division mit Rest ergibt für mit , d.h

Die Ungleichung , teilt nicht
gilt, weil eine positive Zahl nicht eine Zahl teilen kann, die kleiner als ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung zur Notation
Nur eine öffnende Klammer falsch positioniert, und man fragt sich: Was soll das denn jetzt? Erstaunt1

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1
Z/qZ =

Gemeint war hier wohl eher

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

NatürlicheZahl1 hat versucht, das zu schreiben, kennt sich aber anscheinend noch nicht gut genug mit Latex aus, deshalb fehlt in seiner Frage die Mengenklammer.
 
 
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anmerkung zur Notation
Aha ok. Wird etwas klarer.
Nochmal warum will ich am Ende auf b-a heraus. Was ist denn überhaupt das ;? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

teilt nicht für , also lassen verschiedene und , die beide kleiner als sind, bei Division durch verschiedene Reste. Deshalb sind die Restklassen disjunkt, also liegt eine Äquivalenzrelation auf vor.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anmerkung zur Notation
Zitat:
Original von Elvis
NatürlicheZahl1 hat versucht, das zu schreiben, kennt sich aber anscheinend noch nicht gut genug mit Latex aus, deshalb fehlt in seiner Frage die Mengenklammer.

Ich habe kein Fehlen, sondern eine falsche Positionierung angemahnt (dass er () statt {} geschrieben hat, ist nebensächlich und nicht der Punkt, auf den ich hinauswill). Und das sehe ich nicht LaTeX-Problem: Im ersten Moment sprang mir nämlich ins Auge, und da dachte ich zunächst "Hat er sich da massiv verschrieben, meint er da nicht eher ?", was ja eine ganz andere Baustelle ist...
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anmerkung zur Notation
@HAl: Es tut mir leid, dass ich so Fehler mache. Aber ich habe das Thema noch nicht verstanden. Deshalb wsl auch die Fehler unglücklich

@Elvis: Warum gilt a<b<q?
Wo sehe ich dann dass es q Klassen gibt? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1
@HAl: Es tut mir leid, dass ich so Fehler mache.

Ich will nicht sinnlos rumkritteln wegen des allerletzten Kommas und Punkts, und erwarte auch keine solchen Entschuldigungen. Sondern meine Befürchtung war, dass womöglich kein bloßer Schreibfehler sondern ein echter Verständnisfehler der Restklassen hinter der verunglückten Notation steht. Und solche Verständnisfehler holen einen irgendwann ein, daher mein obiges Beharren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
Danke HAL9000, das habe ich übersehen. Es sind einige Fehler in diesen Beiträgen enthalten, so dass wir getrost davon ausgehen können, dass hier noch massive Verständnisprobleme vorliegen ... wir arbeiten daran.

@NatürlicheZahl1
gilt, weil du das aufgeschrieben hast.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu meinem Verständis:

Das ist der Menge von Elementen die immer den gleichen Rest lassen.
Nach den Lemma gibt es q-1 Klassen bzgl modulo q. Der Rest 0 ist ja auch dabei.
Die Ungleichung a<b<r steht einfach so da. Wie komme ich auf die?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, offenbar bestätigen sich meine Befürchtungen... Richtig ist

mit (s.o.) .

Wenn man das zusammen schreibt, dann so:

.

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1

geht gar nicht, denn das rechts stehende ist NICHT die Restklasse , sondern bereits die Menge ALLER Restklassen , kurz gesagt der gesamte Restklassenring modulo , also .
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das so gemeint. Aber natürlich falsch formuliert. Kein wunder. Danke für eine Erläuterungen. Jetzt ist es klar.
Z.b für modulo 7 gibt es die Klassen 0,...,6 mit Strich drüber. Die einzelnen Klassen sind paarweise disjunkt voneinander?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Restklassen sind paarweise disjunkt, weil sie Äquivalenzklassen sind. Das haben wir hier bewiesen.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Beweis zielt doch auf die Anzahl der Kongruenzklassen ab. Nämlich q??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1
Die klassen sind disjunkt, weil es sich ja um eine Äquivalenzklasse handelt.
, q teilt nicht (b-a)


Das hast du geschrieben. Du musst auch lesen, was du schreibst.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok stimmt. Jetzt glaube ich auch zu verstehen, wo das b in der Ungleichung herkommt.
Sind a und b Reprästentanten von 2 Äquivalenzklassen, und die Differenz teilt q nicht, da sie kleiner sind?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NatürlicheZahl1
... und die Differenz teilt q nicht, da sie kleiner sind?

q teilt die Differenz nicht. Augenzwinkern
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups ja smile
Und der Rest stimmt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, ob du alles verstanden hast und was du mit Rest meinst. Es ist sicher besser, wenn du Aussagen und Beweise vollständig und fehlerfrei formulierst. Dann sehe ich mir das gerne noch einmal an, vorher sage ich nicht ja und nicht nein.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Lemma: In Z gibt es q Kongruenzklassen modulo q
Beweis:
Division mit Rest ergibt für mit n aus Z.
d.h
Wenn man jetzt 2 Repräsentanten a,b aus verschiedenen Restklassen nimmt mit a<b. Dann gilt:

, q teilt nicht (b-a), d.h die Restklassen müssen disjunkt sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Lemma:
In Z gibt es keine Klassen. Wie möchtest du die Klassen nennen (und warum ?): Restklassen, Äquivalenzklassen oder Kongruenzklassen ? Jeder Begriff hat seine Berechtigung, man muss aber wissen, wann man welchen Begriff benutzt und was man damit ausdrücken möchte. modulo q ist hier unangebracht, eine Restklasse ist ein Element des Restklassenrings . heißen kongruent modulo , genau dann wenn die Differenz teilt. Das ist genau dann der Fall, wenn und bei Division durch denselben Rest lassen. (Das musst du einmal beweisen, damit du es verstehst (oder den Beweis nachlesen).)
Zum Beweis:
Bei dir tauchen immer wieder Reste auf, das ist falsch. aus verschiedenen Restklassen ist nicht hinreichend für (z.B. ist , aber nicht positiv und und nicht kleiner als ). Im Beweis fehlen jetzt alle Begründungen, die wir schon erarbeitet haben (aber anscheinend noch nicht verstanden haben).
Fazit: Du musst sorgfältiger und ausführlicher argumentieren. Das Thema ist wichtig, nicht allzu schwierig aber nur lehrreich, wenn man sich richtig Mühe gibt. Lehrer
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich verstehe deine Einwände. Das Problem ist, dass der Beweis aus der Vorlesung ist und der genauso da steht.
Für schreibt dann der Prof in Klammern(Restklassen, Äquivalenzklassen oder Kongruenzklassen)
Deshalb bin ich so verwirrt. unglücklich unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist nichts Verwirrendes, der Beweis ist klar, nur muss man darüber nachdenken, um ihn zu verstehen. Mehr als Erklärungen kann ich nicht dazu abgeben. Lies alles 3 mal durch und schreibe es sauber auf. Mehr ist nicht zu tun.
NatürlicheZahl1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann für deine Hilfe Freude smile
Ich arbeite alles nochmal durch.
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