Majorantenkriterium bei alternierender Reihe

09.11.2017, 23:20	Kryticals	Auf diesen Beitrag antworten »
Majorantenkriterium bei alternierender Reihe Meine Frage: Ganz allgemein möchte ich gerne wissen, ob ich das Majorantenkriterium auch bei alternierenden Reihen anwenden kann um auf Konvergenz zu prüfen, oder ob ich da das Leibnitz-Kriterium her nehmen muss. Habe auf die Schnelle keine Antwort im Netz gefunden, weil immer das Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen verwendet wurde. Meine Ideen: Im speziellen Fall geht es um die folgende Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{k} := \frac{(k+1)^{k-1}}{(-k)^{k}} = \frac{(-1)^{k}}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{k} )^{k} = e = 2.718... \end{eqnarray}$ ist bekannt, also wollte ich das Majorantenkriterium anwenden mit: $\begin{eqnarray} \|a_{k}\| = \frac{1}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} \leq \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k} = b_{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a_{k} \end{eqnarray}$ konvergiert auch Geht das so wie ich es gemacht habe?
09.11.2017, 23:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Majorantenkriterium ist nur zum Beweis der Konvergenz vom Reihen mit nichtnegativen Gliedern geeignet. Bei alternierenden Reihen kann es eingesetzt werden, um die absolute Konvergenz dieser Reihe nachzuweisen - sofern denn eine solche absolute Konvergenz überhaupt vorliegt! Das ist bei deiner Reihe hier aber NICHT der Fall: $\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{align}$ ist zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent, d.h., es ist $\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k = \infty \end{align}$ . Insofern kannst du das hier mit dem Majorantenkriterium vergessen.
10.11.2017, 00:01	Kryticals	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh hoppla, mir fällt gerade auf, dass ich das Majorantenkriterium sogar falsch benutzt habe, obwohl es wohl gar nicht ginge. Die Reihe von $\begin{eqnarray} b_{k} \end{eqnarray}$ konvergiert ja auch gar nicht. War also völlig falsch was ich geschrieben habe Na gut, dann muss ich wohl mit Leibnitz ran. Danke so weit!

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