Normalisator größte Untergruppe

Neue Frage »

Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »
Normalisator größte Untergruppe
Meine Frage:
Hallo zusammen ich soll zeigen, dass der Normalisator N_G(H) die größte Untergruppe von G ist, sodass H Notmalteiler ist.

Hierbei ist H Untergruppe von G.

Meine Ideen:
Definition des Normalisators
g aus G für die gilt gHg(^-1) = H

wenn ich von rechts mit g verknüpfe:

gH = Hg, damit folgt schonmal das H Normalteiler des Normalisators ist. Aber wie zeige ich, das der Normalisator die größte UG ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest vielleicht erst mal zeigen, dass N_G(H) eine Untergruppe von G ist. Der Rest ist trivial, wenn du die Definition des Normalisators vollständig aufschreibst und nicht so verstümmelt.
 
 
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja also gHg^(^1) = {ghg^(-1) mit h aus H} und damit Teilmenge G.

N_G(H) = {alle g aus G für die gilt gHg^(-1) = H}.

Ich seh da leider nichts trivial. Kannst du vielleicht etwas mehr dazu sagen, wie ich daran gehen soll?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich schon gesagt: Du solltest vielleicht erst mal zeigen, dass N_G(H) eine Untergruppe von G ist.
Trivial: Gäbe es eine größere Untergruppe, in der H Normalteiler wäre, so enthielte diese ein g in G mit gH=Hg, das nicht schon im Normalisator von H läge. Das widerspricht der Definition des Normalisators, denn der enthält genau alle diese Elemente.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist klar aus der Definition das NG(H) Teilmenge G ist, denn es sind ja eben die g aus G Normalisator die erfüllen gHg(^-1)=H.
Um zu zeigen, dass diese Menge eine Gruppe ist, muss ich zeigen
i) das neutrale Element existiert.
ii) Für alle g existiert eine Inverses g^(-1)
iii) für 2 Elemente aus NG(H) gilt, dass ihr Produkt wieder in NG(H) liegt.
zu i und ii) gHg^(-1) = gg(^1)H = eH = H
zu iii) x,y seien aus NG(H)
Also gilt: xHx^(-1) = H = yHy^(-1)
Hier komm ich nicht weiter...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst für die Menge N_G(H) beweisen, dass sie eine Gruppe ist.
(i) Natürlich existiert das neutrale Element e in G. Zu zeigen e in N_G(H).
(ii) g^-1 existiert für jedes g in G, warum ist das im Normalisator, wenn g im Normalisator liegt ?
(iii) warum liegt das Produkt xy in N_G(H) für x,y in N_G(H) ?

Bisher sehe ich noch keinen Beweisteil als erledigt an.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

zu i) Für das neutrale Element e in G gilt:

eH = H = He

Damit ist e schonmal Element NG(H)

Für alle g aus NG(H) gilt eg = ge = g also ist e auch das neutrale Element in NG(H)

zu ii) Für das Inverse g^(-1) aus G gilt

gH = Hg
<=> Hg^(-1) = g^(-1)H

Damit ist g^(-1) Element NG(H)

Für alle g Element NG(H) gilt gg^(-1) = g^(-1)g = e also ist g^(-1) auch das inverse Element in NG(H)

zu iii)

Seien g,h Elemente NG(H) so gilt für g*h:

ghH = gHh, da h Element NG(H)
= Hgh, da g Element NG(H)

--> gh Element NG(H)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element e und zu jedem g genau ein inverses Element g^(-1). Man muss nicht beweisen, dass diese Elemente neutral und invers in N_G(H) sind, es genügt zu zeigen, dass sie in N_G(H) liegen.
(i) und (iii) ist akzeptabel, (ii) nicht. Tipp: Multipliziere die Gleichung H=gHg^(-1) von links mit g^(-1) und von rechts mit g. Oder multipliziere Hg=gH von links und rechts mit g^(-1)
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

h = gHg(^-1)
g^(-1)H = Hg^(-1)
g^(-1)Hg = H

also ist g^(-1) in NG(H) enthalten.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder multipliziere Hg=gH von links und rechts mit g^(-1) :


hab ich doch hier:

gH = Hg
<=> Hg^(-1) = g^(-1)H

Damit ist g^(-1) Element NG(H)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Woran erkennt man als Leser, der nicht Gedanken lesen kann, was du gemacht hast ? So wie es da steht ist das nur die Behauptung.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay du hast Recht. Aber das meinte ich damit. Dan schreibe ich daran von links und rechts mit g^(-1) verknüpfen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gut so. Merke: Eine Liste unzusammenhängender Gleichungen ist niemals ein Beweis. Studiere Vorlesungsskripten und Mathematikbücher, dann wirst du erkennen, wie ein guter Beweis aussehen muss.
Du brauchst vor jedem Beweis eine vollständige Aussage zusammen mit allen dazugehörigen Definitionen und Voraussetzungen. Im Beweis musst du dann mit bekannten Definitionen und bewiesenen Aussagen beginnen und daraus logisch, formal und verbal das folgern, was du in der Aussage formuliert hast.

Dein Beweis zu (iii) ist auch ein wenig kurz geraten. Ich würde insbesondere deutlich auf das Assoziativgesetz der Komplexmultiplikation hinweisen:

Sei eine Untergruppe von , dann gilt wegen der Assoziativität der Komplexmultiplikation für alle : . Also ist gegenüber der Gruppenoperation abgeschlossen.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Vielen Dank für deine Hilfe.

Jetzt haben wir ausführlich bewiesen, warum NG(H) eine Untergruppe von G ist, aber das ist ja noch nicht alles. Jetzt muss ich zeigen, dass H ein Normalteiler von NG(H) ist.
Also ich versuche es mal mit dem neu gelernten.

Beh: Die Untergruppe H von G ist Normalteiler vom Normalisator NG(H).

Bew:
Eine Untergruppe H heißt Normalteiler falls für alle g aus G gilt: gH = Hg
NG(H) = {g aus G l gHg^(-1) = H}

Damit H ein Normalteiler von NG(H) ist muss für alle g aus NG(H) gelten gH = Hg.

Sei g aus NG(H) beliebig so gilt für dieses g nach Definition des Normalisators:

gHg^(-1) = H
(von recht mit g verknüpfen):

gH = Hg

Damit erfüllt H die Eigenschaften des Normalteiler für alle g aus NG(H).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das kein perfekter Beweis ist, dann habe ich noch nie einen perfekten Beweis gesehen. smile

Die Behauptung kann man noch präziser formulieren:
Beh: Sei eine Gruppe und eine Untergruppe von . Dann ist ein Normalteiler der Gruppe .

Damit wird deutlicher, dass die Behauptung nicht für eine spezielle Untergruppe sondern für alle Untergruppen gilt.
Sarah160695 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen, vielen Dank für deine Geduld!!!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »