Potenzreihenentwicklung

10.11.2017, 16:42	Matthias_0o0	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenentwicklung Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich momentan gerade mit dem Beweis für die Potenzreihenentwicklung, bzw. möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\dd z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\in\partial B_r(z_0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:U\to\mathbb{C} \end{eqnarray}$ analytisch gilt, was wohl eine direkte Folge aus dem Potenzreihenentwicklungssatz (PRES) sein soll. Meine Ideen: Die erste Frage wäre, dass im Beweis des PRES direkt o.B.d.A. $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ gesetzt wird. Das funktioniert weil sich andernsfalls einfach die Parametrisierung des Kreises ändern würde, nämlich von $\begin{eqnarray} t\mapsto re^{it} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} z_0+re^{it} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t\in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ , oder? Ich kann nachvollziehen wieso sich $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ schreiben lässt als eine Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kz^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\dd z \end{eqnarray}$ . Ich sehe natürlich auch die Ähnlichkeit zwischen dem zu beweisenden Ausdruck und dem der hier steht, aber ich bekomme den Link zwischen den zwei nicht wirklich hin... Hoffe jemand kann etwas nachhelfen. Matthias
10.11.2017, 21:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Matthias, die Formel, die du zeigen sollst, ist die (verallgemeinerte) Cauchy'sche Integralformel (CIF). In der klassischen Funktionentheorie gibt es im Wesentlichen zwei Schulen - zum einen die Cauchy-Riemann'sche, und zum anderen die Weierstrass'sche Funktionentheorie. Die erstere basiert auf Kurvenintegralen, die zweite auf Potenzreihen. Ich vermute, du hast einen Dozenten, der eher Weierstrass und Potenzreihen gut findet und das ganze "Cauchy-Integral-Zeugs" dann eben als direkte Folgerung aus der Potenzreihenentwicklung beweisen will. Die m.E. klassische Beweis- bzw. Theorieaufbau-Sequenz wäre etwas anders: 1. Goursat'sches Dreieckslemma: Ist dD der Rand eines Dreiecks und f in einer Umgebung von D holomorph, so ist das Kurvenintegral von f über dD gleich Null. 2. Cauchy'scher Integralsatz: wie 1, nur dass D nun statt einem Dreieck eine beliebige einfach zusammenhängende Menge sein darf. (Also: Alle Integrale holomorpher Funktionen über geschlossene Kurven verschwinden, sofern im Kurveninneren keine Definitionslücken von f liegen.) 3. Cauchy'sche Integralformel: Deine Behauptung mit n=0 (wobei "nullte Ableitung" = Funktion selber) 4. Verallgemeinerte CIF: Deine Behauptung. Hast du davon schon etwas aus der VL zur Verfügung? Wenn du 2 oder sogar 3 zur Verfügung hättest, wär's ein Kinderspiel. Ansonsten versuch vielleicht mal, f(z) im Integral als Potenzreihe in (z-a) zu schreiben. (Warum geht das?) -> Darfst du das Integralzeichen mit der unendlichen Summe vertauschen? Wenn ja, warum? -> Was ergibt $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_r(z_0)}\frac{(z-a)^k}{(z-a)^{n+1}}dz \end{eqnarray}$ ? (Tipp: Fallunterscheidung!) -> Was bleibt übrig? Wenn du so weit bist, dann siehst du evtl schon, wie du zum Beweis deiner Behauptung kommst. LG sibelius84
11.11.2017, 14:21	Matthias_0o0	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort sibellus! Also wir haben 1., 2. und sogar schon 3. bewiesen... Den Zusammenhang sehe ich leider immer noch nicht.
11.11.2017, 14:48	Matthias_0o0	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe es nochmal versucht, bin aber nicht wirklich zufrieden mit dem Resultat. Da wir schon die Integralformel von Cauchy in der Form $\begin{eqnarray} f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{z-a}\dd z \end{eqnarray}$ kennen, habe ich einfach mal folgenden Versuch gemacht. $\begin{eqnarray} f^{(n)}(a)=\frac{\dd^n }{\dd a^n}f(a)=\frac{1}{2\pi i}\frac{\dd^n}{\dd a^n}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{z-a}\dd z=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{\dd^n}{\dd a^n}\frac{f(z)}{z-a}\dd z=(-1)^n\frac{\prod\limits_{k=1}^n k}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\dd z=(-1)^n\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\dd z \end{eqnarray}$ Zwei Fragen: 1) Darf man Integral und Ableitung vertauschen, wenn ja, wieso? 2) Was passiert mit dem $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ?
11.11.2017, 20:10	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht generell super aus! Zur Vertauschung - gute Frage! Ich würde hier dazu neigen, den Lebesgue'schen "Satz von der majorisierten Konvergenz" bzw. "Satz von der dominierten Konvergenz" zu benutzen: Die Funktion f ist ja in einer Umgebung von B_r(z_0) holomorph, mithin der zu integrierende Quotient auch, mit Ausnahme der Stelle a. Also insb. stetig und mithin auf dem Rand der Kugel beschränkt; dabei hilft eine bestimmte Eigenschaft, die die Randmenge der Kugel mitbringt. Die Konstante, die du rausbekommst, kann im Satz von der majorisierten Konvergenz dann als integrierbare Majorante dienen. (Pingelige Dozenten oder Übungsleiter könnten evtl. meckern, falls der Satz noch nicht dran war. Aber ich meine eigentlich, wenn man die Einführung in die Funktionentheorie hört, sollte die Handhabung solcher Dinge schon etwas lockerer geworden sein. Man könnte schon Ana3 oder Vergleichbares gehört und den Satz dort kennengelernt haben.) Das (-1)^n ist ein simpler Rechenfehler. Du hast ja völlig korrekt die Ableitung notiert als d^n/da^n. Wenn du nach a ableitest (und nicht nach z), kommt die Kettenregel zum Tragen und bei korrekter Rechnung taucht der Faktor (-1)^n nicht auf. Das über die Potenzreihenentwicklung zu machen, ist aber (nach einer Nacht drüber schlafen) auch keine schlechte Idee. Der Weierstrass war schon ein Guter - nicht zuletzt hat er doch unser geliebtes epsilon "erfunden"

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