Menge nichtleer, kompakt, konvex Beweis

10.11.2017, 17:58	Lukas90	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge nichtleer, kompakt, konvex Beweis Meine Frage: Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Zeigen Sie: Es sei $\begin{eqnarray} M \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ nichtleer, kompakt und konvex. Dann existiert $\begin{eqnarray} \max_{x \in M} c^T x \end{eqnarray}$ und es gibt mindestens eine Ecke von M, in der das Maximum angenommen wird. c und x sind dabei natürlich Vektoren. Meine Ideen: Bisher ist mein Lösungsansatz, den Satz von Weierstraß zu verwenden. Da M kompakt ist und die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = c^T x \end{eqnarray}$ stetig, weiß ich, dass ein Maximum existiert. Hier hört es dann leider schon auf. Eine Möglichkeit wäre anzunehmen, dass das Maximum (nennen wir es z) keine Ecke (sich also nicht als echte Konvexkombination darstellen lässt) ist und dann einen Widerspruch herbei zu führen.
10.11.2017, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele Ecken hat eine Kugel ?
10.11.2017, 18:11	Lukas90	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele. Das hilft mir aber gerade noch nicht weiter.
10.11.2017, 19:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Die Antwort ist wohl: Die Kugel besteht nur aus Ecken. Es klingt wenigstens so als ob $\begin{eqnarray} z\in M \end{eqnarray}$ eine Ecke ist, falls $\begin{eqnarray} z = \lambda x + (1-\lambda) y \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in[0,1] \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} x = z \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z=y \end{eqnarray}$ . @Lukas Ich bin mir nicht sicher, wie man es zeigen kann. Beachte aber, dass nicht jeder Maximierer an einer Ecke sein muss. Ist $\begin{eqnarray} c =0 \end{eqnarray}$ ist jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein Maximierer, aber die wenigsten werden an einer Ecke liegen. Als erster argumentiere, dass ein Maximierer $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ am Rand liegen muss. Falls er sich als echte Konvexkombination darstellen lässt, dann existieren $\begin{eqnarray} x,y\in \partial M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in (0,1) \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} z =y + \lambda (x -y) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ Maximierer ist, muss $\begin{eqnarray} c^T(x - y) = 0 \end{eqnarray}$ sein. Ich behaupte, wenn man $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ startend, sich weiter in Richtung $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ bewegt, bis man droht die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ zu verlassen, hat man seine Ecke gefunden. Edit: Spätestens nach n Wiederholungen. Edit: Weil ich gerade wieder an einem Computer bin: Der Grund warum man höchstens $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ Iteratitionen braucht ist, dass der Vektorraum $\begin{eqnarray} c^\perp := \{ v \in \mathbb R^n \mid c^Tv = 0 \} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ dimensionaler Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist. Ersteres ist nur der Fall, falls $\begin{eqnarray} c = 0 \end{eqnarray}$ , ansonsten ist er immer etwas niederdimensionaler.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »