Gleichungsystem über Restklasse

11.11.2017, 10:12

Peter5774

Gleichungsystem über Restklasse

Hallo,
es geht um folgendes Gleichungsystem:

$\begin{eqnarray*} \bar{8} x_1 + \bar{3} x_2 = \bar{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{2} x_1 + \bar{6} x_2 = \bar{-1} \end{eqnarray*}$

Erstmal wandle ich das Gls um in Zahlen von 0 bis 4:

$\begin{eqnarray*} \bar{3} x_1 + \bar{3} x_2 = \bar{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{2} x_1 + \bar{1} x_2 = \bar{1} \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichubg umgestellt ist:

$\begin{eqnarray*} x_2 = \bar{1}-\bar{2}x_1 \end{eqnarray*}$

Das in die letzte Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \bar{3} x_1 + \bar{3} -\bar{6} x_1 = \bar{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\bar{3} x_1 = \bar{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{2} x_1 = \bar{0} \end{eqnarray*}$
Ist dann x_1 die Restklasse 0.
Wsl sind viele Fehler drin
Ich bin neu in dem Thema unglücklich

11.11.2017, 10:16

tatmas

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Hallo,

du hast beim Umschreiben der Gleichung einen Abschreibfehler gemacht.

Genereller Tipp:
Gewöhn dir an LGS per Matrizen zu schreiben und per Gauß-Verfahren zu lösen.
Das geht im Alggmeinen deutlich schneller als die Einsetzung/Gleichsetzungsverfahren aus der Schule.

11.11.2017, 10:19

Sven1001

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Bei welcher Gleichung. Aber generell ist das Vorgehen ok?

11.11.2017, 13:30

Sven1001

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Oder was mache ich falsch?

11.11.2017, 13:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peter5774
Erstmal wandle ich das Gls um in Zahlen von 0 bis 4:

Es wäre gut, wenn man nicht nur aus so einem beiläufigen Nebensatz rekonstruieren kann, dass es um ein Gleichungssystem in $\begin{align*} \mathbb{Z}/{\color{red}5}\mathbb{Z} \end{align*}$ (d.h. modulo 5) geht. So eine Information gehört klar und deutllich mit in die Aufgabenstellung! unglücklich

Und noch was:

Zitat:

Original von Peter5774
$\begin{eqnarray*} \bar{2} x_1 + \bar{6} x_2 = \bar{-1} \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \bar{2} x_1 + \bar{1} x_2 = \bar{1} \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass du rechts "vergessen" hast, das Vorzeichen zu übernehmen? Ansonsten ist nämlich $\begin{align*} \overline{-1} = \overline{4} \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \end{align*}$ .

11.11.2017, 14:30

Sven1001

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Ja du hast recht. Also ich schreibe das Gls System nochmal hin ohne Striche und dann die Umformungen. Das -1=4 habe ich einfach nur falsch gemacht.

Also
1. 8x1 + 3x2=3
2.2x1+6x2=-1

Umwandlung:
1. 3x1 +3x2=3
2. 2x1+1x2=4

Die 2. nach x2 umgeformt ist
x_2=4-2x2

Eingesetzt in 1.

3x1 + 2 +4x1=3

Daraus folgt;
2x1=1
Also x1 = 1 * 2^(-1)
Ist das so korrekt?

11.11.2017, 16:06

HAL 9000

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Bis jetzt stimmt's. Das Ausrechnen von $\begin{align*} 2^{-1} \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \end{align*}$ sollte nun so schwer nicht sein.

11.11.2017, 16:12

Sven1001

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Das wäre doch x1=3 und x2=3. Reicht das als Lösungsangabe so?

11.11.2017, 16:23

HAL 9000

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Ja, $\begin{align*} (x_1,x_2)=(\bar{3},\bar{3}) \end{align*}$ ist die einzige Lösung dieses GLS.

11.11.2017, 16:37

Sven1001

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Dankeschön Freude