Bijektivität

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11.11.2017, 13:41	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektivität Meine Frage: Es gibt bijektive Abbildungen zwischen Mengen verschiedener Mächtigkeit, oder? Meine Ideen: Angenommen {1,2,3} und {1,2}: Bildet 1 auf 1 und 2 auf 2 ab, ist die Funktion bijektiv, oder? Sprich es muss nicht jedes Element der Definitionsmenge abgebildet werden um trotzdem bijektiv sein zu können, richtig?
11.11.2017, 13:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn {1,2,3} die Urmenge ist, ist eine Teimenge davon D= {1,2} die Definitionsmenge. Die Abbildung ist bijektiv, weil in jedem Element der Zielmenge genau ein "Zuordnungspfeil" endet. mY+
11.11.2017, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die so definierte Funktion $\begin{eqnarray} f:\{1,2\}\to \{1,2\},x\mapsto f(x)=x \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Aber es gibt keine bijektive Funktion von $\begin{eqnarray} \{1,2,3\}\to \{1,2\} \end{eqnarray}$ oder von $\begin{eqnarray} \{1,2\}\to \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ Es muss nicht jedes Element der Urmenge abgebildet werden, aber es muss jedes Element der Definitionsmenge abgebildet werden. Wäre dem nicht so, gäbe es zwischen beliebigen nichtleeren Mengen M und N bijektive Abbildungen, man müsste nur einem beliebigen Element m aus M ein beliebiges Element n aus N zuordnen. Es wäre unklug, bijektive Abbildungen so zu definieren, weil Bijektion dann nichts mehr mit gleichmächtigen Mengen zu tun hätte. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
13.11.2017, 12:44	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte es so verstanden, dass die Urmenge (als Menge der durch die Fkt. abgebildeten Elemente) eine Telmenge der Definitionsmenge ist? Eine Bijektion zwischen {1,2,3} und {1,2} gibt es jedenfalls nicht, richtig?
13.11.2017, 13:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir Mengen $\begin{eqnarray} A\subseteq M, B \end{eqnarray}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray} f:A\to B,x\mapsto y=f(x) \end{eqnarray}$ , dann heißt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ Urmenge, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Definitionsmenge, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Zielmenge, $\begin{eqnarray} f(A)\subseteq B \end{eqnarray}$ Bildmenge der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Eine injektive Funktion ordnet verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Zielmenge zu. Eine Funktion ist surjektiv, wenn die Bildmenge gleich der Zielmenge ist. Eine bijektive Funktion ist injektiv und surjektiv. Zwei Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ heißen von gleicher Mächtigkeit, wenn es eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray} f:A\to B,x\mapsto y=f(x) \end{eqnarray}$ gibt. Für endliche Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist das gleichbedeutend damit, dass sie gleich viele Elemente enthalten. {1,2,3} hat 3 Elemente und {1,2} hat 2 Elemente, 3 ist ungleich 2, also gibt es zwischen diesen beiden Mengen keine Bijektion.
13.11.2017, 13:50	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank und entschuldige bitte, dass ich so schwer von Begriff bin. Was ist die 'Urmenge' dann genau? Die Menge, die sozusagen von der Zielmenge aus durch die 'Brille der Funktion betrachtet' Teilmenge der Definitionsmenge ist? Eine konkrete Frage noch zu inj./surj./bij.: Anzahl der injektiven Abbildungen von {1,2,3} auf {1,2}: 3, die auf beide Elemente der Zielmenge abbilden. 6, die nur auf ein Element der Zielmenge abbilden. Und eine, die auf kein Element der Zielmenge abbildet, da für injektiv ja nur gefordert ist, dass die Fkt. auf jedes Element der Zielmenge h ö c h s t e n s ein Element der Definitionsmenge abbildet? 8 surj. Fkt.? Keine bij. Fkt.? Bei {1,2} auf {1,2,3,4}: 21 inj. Funktionen? 16 surj. Funktionen? Keine bij. Funktion?
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13.11.2017, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Urmenge war mir auch neu, habe mYthos so verstanden, dass das eine Menge ist, die die Definitionsmenge als Teilmenge enthält. Ist jedenfalls für die Funktion uninteressant. Es gibt keine injektive Funktion f:{1,2,3}->{1,2}, weil eine Funktion jedem Urbild ein Bild zuordnen muss. Wenn es nur 2 mögliche Bilder gibt, kann ich da nicht 3 verschiedene Bilder finden. Nicht injektiv, also nicht bijektiv. Es gibt keine surjektive Funktion f:{1,2}->{1,2,3,4}, weil nur 2 Urbilder da sind, kann es auch nur 2 Bilder geben. Nicht surjektiv, also nicht bijektiv.
14.11.2017, 11:17	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, Elvis for Präsident!
14.11.2017, 11:51	Opher19782808	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin endlich bei der eigentlichen Frage angelangt: Für Funktionen f: [m] -> [n] gibt es falls m<n: mn inj. Fkt 0 surj. (und bij.) Fkt. falls m>n: 0 inj. (und bij.) Fkt. mn surj. Fkt. falls m=n: m*n inj., surj. und bij. Fkt. Ist das so richtig?
14.11.2017, 12:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht richtig. Um eine Funktion zu bauen, kann man der 1 aus [m] n verschiedene Werte zuordnen, dann der 2 aus [m] n-1 verschiedene Werte , usw. Die Formeln für die Anzahl der Funktionen enthalten geeignete Fakultäten. Injektiv geht nicht nur für m<n sondern für n<=m .

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