Offene Menge besitzt kein Supremum

12.11.2017, 15:04	offen	Auf diesen Beitrag antworten »
Offene Menge besitzt kein Supremum Guten Tag, ich möchte wissen, ob solche Logik für einen Beweis gilt: Sei D in R offen und f : D -> R streng monoton wachsend und beschränkt. Zeigen Sie, dass kein x_0 in D mit f(x_0) = sup{f(x)} existiert. Da f beschränkt ist, existiert s := sup f(x) wobei s in R. Das bedeutet, dass s auch ein Häufungspunkt ist. Sei s in D dann ist D oben abgeschlossen. Aber es war gegeben, dass D offen ist. Somit ist s nicht in D.
13.11.2017, 04:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verwechselst hier das Supremum $\begin{eqnarray} s:= \sup_{x\in D} f(x) \end{eqnarray}$ und die Stelle, an der das Supremum evtl. angenommen wird. Angenommen, es existiert ein $\begin{eqnarray} x_0\in D \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x_0)=\sup_{x\in D} f(x) \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ offen ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)\subseteq D \end{eqnarray}$ . Insbesondere gibt es also Elemente von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ , die größer als $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ sind...

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