Summenformel mit Bruch auflösen

12.11.2017, 15:09

feedxme

Summenformel mit Bruch auflösen

Meine Frage:
Hallo! Wir sollen für einen Term mit dem Summenzeichen eine geschlossene Summenformel finden, also es so auflösen das wir dieses Summenzeichen nicht mehr haben. Dies ist an sich ja kein Problem, allerdings gibt es bestimmt Sonderregeln wenn Brüche drin vorkommen, oder?
Bitte helft mir x.x
Term:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(2k-1)k(k+1)-2}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$
Danke!

Meine Ideen:
Den Bruch so auflösen, das man den oberen Teil neber einem Summenzeichen stehen hat geteilt durch den unteren Teil neber dem Summenzeichen.
Also so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)k(k+1)-2 : \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1) \end{eqnarray*}$

12.11.2017, 15:41

Leopold

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Diese Umformung ist wider jede Vernunft, einmal ganz abgesehen davon, daß noch ein Fehler im Fehler steckt (fehlende Klammer).

$\begin{align*} \frac{2}{1} + \frac{4}{2} \ \ \text{gleich} \ \ \frac{2+4}{1+2} \ \ \text{?} \end{align*}$

Und das soll stimmen? 2+2 gleich 2?

12.11.2017, 15:53

feedxme

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Summenformel
Ich weiß ja nicht wie es anders geht.. das war meine einzige Idee.. Wie kann man es denn richtig umformen? :c

12.11.2017, 17:04

Leopold

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RE: Summenformel

Zitat:

Original von feedxme
Ich weiß ja nicht wie es anders geht.. das war meine einzige Idee.

Wenn man nicht weiß, wie es geht, kann man doch nicht einfach irgendwas tun, gegen alle Regeln, nur damit etwas getan ist. Oder was hältst du von einem Autofahrer, der nicht weiß, an welcher Autobahnausfahrt er hinausfahren muß, und dann einfach mal kehrtmacht und eine Geisterfahrt probiert? Und Geisterfahrt ist noch ein kleines Wort für das, was du angerichtet hast.

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \frac{A-B}{C} = \frac{A}{C} - \frac{B}{C} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \frac{PQ}{Q} = P \end{align*}$

Mit der Subtraktionsregel $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und der Kürzungsregel $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ für Brüche, angewandt auf das allgemeine Reihenglied, kommst du erst einmal weiter. Dann führt wohl nichts an einer Partialbruchzerlegung vorbei. Oder anders gesagt: Ist dir schon einmal aufgefallen, daß die Differenz benachbarter Stammbrüche gleich ihrem Produkt ist?

$\begin{align*} \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \, , \ \ \ \frac{1}{98} - \frac{1}{99} = \frac{1}{98} \cdot \frac{1}{99} \end{align*}$

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